管理数学作业（习题四）1.令X1,X2为具有均值μ，方差σ2的总体X的一个样本，考虑以下μ的估计量¯X=12X1+12X2，^μ1=14X1+34X2，^μ2=13X1+23X2。1）证明以上三个估计量都是μ的无偏估计量；2）谁是最有效的估计量？解：1）E(X)=E(12X1+12X2)=12[E(X1)+E(X2)]=12(μ+μ)=μE(^μ1)=E(14X1+34X2)=14E(X1)+34E(X2)=14μ+34μ=μE(^μ2)=E(13X1+23X2)=13E(X1)+23E(X2)=13μ+23μ=μ所以，上述三个估计量都是μ的无偏估计量。2）D(X)=D(12X1+12X2)=14[D(X1)+D(X2)]=14(μ+μ)=12μD(^μ1)=E(14X1+34X2)=116D(X1)+916D(X2)=116μ+916μ=58μD(^μ2)=E(13X1+23X2)=19D(X1)+49D(X2)=19μ+49μ=59μD(X)最小，所以，X是最有效的估计量。2．设X1,X2,⋯,Xn1为来自总体X~N(μ1,σ2)的一个样本，Y1,Y2,⋯,Yn2为来自总体Y~N(μ2,σ2)的一个样本，且两个样本相互独立，证明1)¯X−¯Y是μ1−μ2的无偏估计；2)(n1−1)S12+(n2−1)S22n1+n2−2是σ2的无偏估计。解：1）因为E(X)=E(X)=μ1，E(Y)=E(Y)=μ2所以E(¯X−¯Y)=E(¯X)−E(¯Y)=μ1−μ2，即¯X−¯Y是μ1−μ2的无偏估计。2）E[(n1−1)S12+(n2−1)S22n1+n2−2]=E[∑i=1n1(Xi−X)2+∑i=1n2(Yi−Y)2n1+n2−2]=1n1+n2−2[n1E(X2)−n1E(X2)+n2E(Y2)−n2E(Y2)]¿1n1+n2−2[n1(μ12+σ2)−n1(μ12+σ2n1)+n2(μ22+σ2)−n2(μ22+σ2n2)]=1n1+n2−2(n1σ2−σ2+n2σ2−σ2)=σ2即(n1−1)S12+(n2−1)S22n1+n2−2是σ2的无偏估计。证毕。3．对快艇的6次试验中，得到下列最大速度（单位：米/秒）：27，38，30，37，35，31．求快艇的最大速度的数学期望与方差的无偏估计量，并计算对应于给定样本观测值的估计值。解：设快艇的最大速度为随机变量X，其服从数学期望为μ、方差为σ2的分布则其无偏估计量分别为X（E(X)=μ）、S2（E(S2)=σ2）具体估计值为X=33,S2=18.84．美国教师联合会每年都对教师的工资做调查，1991-1992年教师的平均工资为$34,213。假设上述结果是容量为400的一个样本的均值，并且1991-1992年教师工资的标准差为$4800。试求教师平均工资的99%的单侧置信下限，并解释其含义。解：X=34213,σ=4800,n=400>30为大样本单侧置信下限为X−zασ√n=34213−z0.014800√400=34213−2.33×240=33654即有99%的可能1991-1992年教师的平均工资高于33654美元。5．某银行原来平均贷款数额为60,000元，近来贷款利息发生变化。为了解这种变化对平均贷款数μ的影响，从变化后的贷款中随机抽取144个样本，求得¯x=68.1，s=45.0（单位：千元），（1）求平均贷款数μ的95%的置信区间；（2）不做任何计算，判断置信度为99%的置信区间的宽度比（1）中的大还是小？为什么？解：（1）设贷款数额为正态总体，¯x=68.1，s=45.0，n=144，1−α=0.95平均贷款数μ的95%的置信区间为[x±zα2s√n]⇒[68.1±z0.0254512]⇒[68.1±1.96×3.75]⇒[60.75,75.45]（2）宽度比（1）大。因为99%覆盖的范围比95%覆盖的范围广。6．设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为：6.05.75.86.57.06.35.66.15.0设干燥时间总体服从正态分布N(μ,σ2)。在下列条件下，求μ的置信度为0.95的置信区间：1）若由以往经验知σ=0.6（小时），2）若σ为未知。解：1）正态总体，σ=0.6，n=9，将数据输入计算器得¯x=6μ的置信度为0.95的置信区间为[x±z0.025σ√n]⇒[6±1.96×0.63]⇒[5.608,6.392]2）正态总体，n=9，将数据输入计算器得¯x=6,s=0.5745μ的置信度为0.95的置信区间为[¯x±t0.025(n−1)s√n]⇒[6±t0.025(8)0.57453]⇒[6±2.306×0.1915]⇒[5.558,6.442]7．某啤酒公司制造的罐装啤酒容量服从标准差为0.2盎司的正态分布。1）若要抽取一个容量为25的样本，并且要求啤酒的平均容量的置信区间为（11.98,12.12），求该置信区间的置信度。2）若公司经理希望啤酒平均容量的99%的置信区间的总宽度不超过0.1，应抽取容量为多大的样本？解：正态总体，σ=0.2，n=25，¯x=61）[11.98,12.12]⇒[12.05±0.07]zα2σ√n=zα20.25=0.07zα2=1.75z0.04=1.75α=0.081−α=0.92该置信区间的置信度为92%。2）1−α=0.99zα2σ√n=0.05n=(zα2σ0.05)2=(z0.005¿0.20.05)2=10.322¿1078．某...
