第1页2019年小学奥数数论专题——完全平方数1．1234567654321(1234567654321)是的平方．2．112123123412345123456，这个算式的得数能否是某个数的平方？3．写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．4．一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？5．从1到2019的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？6．1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．7．已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。8．已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。9．考虑下列32个数：1!，2!，3!，⋯⋯，32!，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是．10．一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？11．能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？12．三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数．13．有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．14．求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数．15．两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？16．有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同，那么这两个两位数是．(请写出所有可能的答案)17．A是一个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A的所有可能取值之和为．18．已知ABCA是一个四位数，若两位数AB是一个质数，BC是一个完全平方数，CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是________．19．一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数．20．有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．21．能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由．22．证明：形如11，111，1111，11111，⋯的数中没有完全平方数。23．三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”．问：所有小于2019的美妙数的最大公约数是多少？24．记(123)(43)Snk，这里3n．当k在1至100之间取正整数值时，有个不同的k，使得S是一个正整数的平方．25．称能表示成123k的形式的自然数为三角数．有一个四位数N，它既是三角数，又是完全平方数．则N．26．自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，⋯，问：第612个位置的数字是几？27．A是由2019个“4”组成的多位数，即200244444个，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由．第1页参考答案1．7777777的平方【解析】212345676543211111111，212345676543217，原式22(11111117)7777777．2．不可能【解析】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数．这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．3．361,400,441,484,529,576,625【解析】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．...
