1/45大学数学之初等数学研究，李长明，周焕山版，高等教育出版社习题一1答：原则：（1）AB（2）A的元素间所定义的一些运算或基本关系，在B中被重新定义。而且对于A的元素来说，重新定义的运算和关系与A中原来的意义完全一致。（3）在A中不是总能施行的某种运算，在B中总能施行。(4)在同构的意义下,B应当是A满足上述三原则的最小扩展,而且由A唯一确定。方式：（1）添加元素法；（2）构造法2证明:(1)设命题能成立的所有c组成集合M。a=b，M11b1a，假设bcacMc，即，则Mccbbbcaacca，由归纳公理知M=N，所以命题对任意自然数c成立。（2）若ab，则bckcacbc,k)c(a)1(bkaNk即，，由，使得则acb，则acmcbcac,m)c(b)1(ambNm即，，由，使得则ac>bc。3证明:(1)用反证法：若bab,aba或者，则由三分性知。当ab时，由乘法单调性知acbc.当ab时，由乘法单调性知acbc矛盾。则a>b。4.解：（1）4313541323652333（2）313631323932323335证明：当n=1时，的倍数。是9181n154n假设当n=k时的倍数。是91k154k则当n=k+1时的倍数。是）（）（918k451k154411k154k1k则对Nn，1n154n是9的倍数.6证明：当1n时，141=3，n21n21=3；则当1n时成立。假设当kn时成立，即(141)(941)(2541)⋯⋯⋯(21k241）（)=k21k212/45当1kn时，(141)(941)(2541)⋯⋯⋯(21k241）（)（21k241）（）当1kn时成立。7解：（1）01x3x132，则，（2）3311，（3）当n=1时，1013A333的倍数。是10假设当n=k时13A3k3k3k的倍数。是10则当n=k+1时则对Nn，n3A是10的倍数.8证明：；，，则，，使得，；，larlckaqkbarcaqbZrqc|ab|a9证明：假设存在b，使得,1aab由得，ba，，使得kabNk若，则1k；1ab若，则1k；即1akab；1ab因此.1a是不可能的b10证明：）；，，，，，，（，，设*321321332211ZqqqZppppqcpqbpqa则a(bc)=321321332211ppp)qqqpqpqpq）（（）（）（）（321321pppqqqa(bc)pqpqpq332211）（11答:(1)加法,乘法,减法;构成数环(2)乘法,除法;(3)加法,乘法;(4)加法,乘法;(5)加法,乘法,除法;(6)乘法;(7)加法,乘法,减法;构成数环(8)加法,乘法,减法;构成数环12证明：方法一nn332211babababa即n11n2112baba,babann332211babababa即1-nnn1-n1nn1baba,baba，方法二：设p,ba11q,bann则由p=nn332211babababa=q得，则n21n21bbbpbpbpbn21n21bbbaaa
