(完整版)12-13随机过程试题B卷答案VIP免费

华中师范大学2012–2013学年第1学期期末考试试卷（B卷答案）课程名称应用随机过程课程编号83610101任课教师李波题型一二三四五总分分值1026302410100得分得分评阅人一、判断题：（共5题，每题2分）1．设tB是标准布朗运动，ttYBa也是标准布朗运动。（T）2．两个的泊松过程之和与之差一定是泊松过程。（F）3．马氏链状态i与j即使互达，i,j也可能有不同的周期。（F）4．离散鞅是Markov过程。（F）5．随机过程(,)Xt可以看成一个二元函数。（T）得分评阅人二、证明题：（共3题，6题10分7、8题8分，）6．设)()(tYtX和为相互独立的宽平稳过程。证明)()()(tYtXtZ是平稳过程。解：由于)()(tYtX和是相互独立是平稳过程，故))()(()(tYtXEtEZ=)()(tEYtEX=XYmm=常数。),(ttRZ=[()()()()]EXtYtXtYt院（系）：专业：年级：学生姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第1页(共3页)=[()()][()()]EXtXtEYtYt=)()(YXRR,与t无关。2|)(|tZE=)0(ZR=)0()0(YXRR<因此()Zt是平稳过程。7设()Nt为Poisson过程，对st，证明在t时刻到达k次的条件下s时刻达到次数的概率，即{()|()}PNskNtn服从二项分布。证明：(();()){()|()}(())PNskNtnPNskNtnPNtn()(())(()()){()/!}(())/()!(())()/!sktsnktnPNskPNtNsnkesketsnkPNtnetn!()1!()!knkknkknnnstsssCknkttt。8．试证连续时间马氏链的向后微分方程，()()PtQPt。证明：由C-K方程有()()()ijikkjkpthphpt()()()()[1()]()ijijikkjiiijkipthptphptphpt0h00()()()limlim()()ijijikkjiiijhhkipthptphptqpthh()()()ijikkjiiijkiptqptqpt得到()()PtQPt称为向后微分方程。得分评阅人三、计算题：（共3题，每题10分）9．设顾客以速率的Poisson过程()Nt到达火车站,设火车站时刻t离站，问在(0,]t区间内乘客的总等待时间的期望。解：由题意设乘客的到达时间为i，则等待时间为it总等待时间为()1()()NtkkWtt()()11(()){()}{[()|()]}NtNtkkkkEWtEtEEtNt()11[()|()][|()]NtnkkkkEtNtnntENtn由定理在N(t)=n条件下n个k的联合分布等价与[0,t]上n个相互独立服从均匀分布的随机变量的联合分布。所以可计算1[|()]nkkENtn011[]2ntkkntEUnxdxt1(())(){()}2nntEWtntPNtn1{()}2ntnPNtn22t10．某权威机构对主流日用品的三种品牌ABC进行顾客消费习惯的调查，并建立Markov链模型，三种品牌间的消费转移概率矩阵为：P=1/21/201/31/31/31/61/21/3a)证明该链是遍历马氏链。b)试预估各产品的市场占有率。c)讨论使用产品C的平均间隔（即该状态的平均返回时间），试解释实际意义。解：a)因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以遍历b)所以马尔可夫链平稳分布存在，由定理可得方程组1123212331231231/21/31/61/21/31/201/31/31-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第2页(共3页)解上述方程组得平稳分布为1=5142=6143=314c)状态3的平均返回时间3u=143=4.667，即，认为使用一件产品认为是“一代”平均使用第4.667代时，重新选用C。11.分支过程中一个体产生后代的分布为012111,,,424ppp初始为一个母体，试求第n代个数的均值方差及全体消亡概率。解：11nXniiXZ1()()nnnEXEX1{1}nnnDXDZL=nDZ1nEX,2nnDX2111()424ssss,解得消亡概率为1s得分评阅人四、综合题：（共2题，每题12分）12．叙述马氏链状态的划分（5分！）。应用相关理论讨论下例的各个状态。设{,0}nXn是马氏链，其状态空间{0,1,2,}EL，转移概率为0,0,1,0111,,,222iiipppiE试用转移图的方法考察状态的0的常返性和遍历性，进而讨论整个状态空间E的常返性和遍历性。定义：常返正常返零常返瞬过略图略对状态0来说，我们有(1)(2)(3)00000011111111,,,22242228fff所以一般的我们有()0012nnf，故而()00001111,2nnnnff()000112.nnnnnfn所以状态0是正常返的，又(1)0,00,010,2pp从而0是非周期的，因此0是遍历的。因为整个状态空间E是连通的，所以，...