1向量法求空间角广东信宜中学李平大家知道，立体几何是高中学生学习的一个难点，以往数学教师在教导学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即要求学生根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且，引入向量，对于某些立体几何问题能提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因而降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程的理念。为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题，以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。1预备知识。空间向量夹角：设1,1,1()axyz,2,2,2()bxyz为空间的两个向量,a,b的夹角为〈a,b〉，则由向量内积公式:ab=baba,cos得：222222212121212121,coszyxzyxzzyyxxbababa其中0,ab向量法求空间角的具体解题思路如下：向量的内积公式和运算法则建立空间直角坐标系求出空间向量及点的有关坐标向量法求空间角已知条件及图形性质22求异面直线所成的角。方法：已知两条异面直线l1,l2,可分别在l1,l2上取向量1,1,1()axyz，2,2,2()bxyz，设两条异面直线所成的角为(0)2，则①当,0,2ab时，,ab；②当,(,)2ab时，,ab；例1在正方体中1111ABCDABCD，M是AB的中点，试求异面直线DM与BD1的夹角。分析：本题传统的解法是先通过平移找出所求的异面直线所成的角，即作出与DM平行且与BD1相交的直线，构造三角形，利用余弦定理求解，步骤繁多，而引入向量能简化运算，提高解题效率。解：设正方体棱长为1，如图（1）所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则向量1(1,,0)2DM，1(1,1,1)BD，易得13BD，52DM,1131(1)(1)0122DMBD∴1113152cos,5532DMBDDMBDDMBD易知，1,DMBD,2∴15arccos5例2在直棱柱111CBAABC中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，AC=2，BB1=3，求直线BC1与A1C所成的角。分析：本题中要求异面直线A1C与BC1所成的角，首先必须作出这个角，但用传统的解法，很难作出，需要一定的技巧，而向量法能轻而易举把问题解决。解：如图（2）所示，以B为原点，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)B,)3,2,0(1C,(0,2,0)C,1(2,0,3)A3∴1(0,2,3)BC,1(2,2,3)AC,则132BC，16AC,110222337BCAC1111117143cos,143BCACBCACBCAC 11,(,)2BCAC∴7143arccos1433求直线与平面所成的角。方法：设直线l与平面的夹角为（0,2），设向量a∥l,向量b,即a是l的方向向量，b是的法向量，则①当,0,2ab时，,2ab；②当,,2ab时，,2ab；例3如图（3），在直三棱柱OBC-O1B1C1中，OB=1，OC=2，OO1=3，90BOC，求直线CB1与平面O1C1B所成的角。分析：传统方法是作出直线B1C在平面O1C1B上的射影，则直线B1C与射影所成的角就是直线和平面所成的角；本题中，不易作出直线在平面上的射影，应用向量法能避开这一难点，达到求解的目的。解：建立空间直角坐标系O-XYZ，则1(0,2,3)C,1(1,0,3,)B，1(0,0,3)O，(0,2,0,)C，∴1(1,0,3)BO，11(0,2,0)OC，1(1,2,3)CB(3)O1B1C1BOCzY(2)B1A1C1ABCzxY4设平面O1C1B的法向量为),,(zyxn，则130nBOxz1120nOCyx=3zy=0取)1,0,3(n，即10n,114CB，16nCB∴1116335cos,101435nCBnCBnCB1,0,2nCB∴直线CB1与平面O1C1B所成的角为335arccos235例4如图（4），在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，90ACB，侧棱AA1=2，D,E分别是CC1,A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G。（1）求A1B与平面ABD所成的角的大小。（2）求点A1到平面AED的距离。（2003高考题）分析：本题中，要作出直线A1B在平面ABD上的射影比较困难，一般学生不易作出，而应用向量能避开这一难点。解：(1)如图（4），建立空间直角坐标系C-XYZ，设CA=CB=a，则(0,,0)Ba，(0,0,1)D，(,0,0)Aa，1(,0,2)Aa，易得(,,1)22aaE，1(,,)333aaG∴2(,,)663aaGE，(,0,1)ADa，(,,0)ABaa GE平面ABD5∴GEABGEAD由...
