第1页共9页编号:时间:2021年x月x日书山有路勤为径,学海无涯苦作舟页码:第1页共9页琴生不等式的高维推广李世杰吴光耀(衢州市教育局教研室浙江324002)单保良(衢州职业技术学院,浙江324000)摘要:将琴生(Jensen)不等式作了高维推广,并由它得到了m维空间的一系列不同类型的函数不等式,它们是算术——几何平均值不等式、柯西不等式等的联合推广.关键词:琴生不等式,函数不等式,高维推广.HigherDimensionalGeneralizationofJensenInequalityLiShijieWuGuangyao(DepartmentofTeachingResearch,QuzhouEducationCommittee,Zhejiang,324002,China)DanBaoliang(QuzhouCollegeofVocationalTechuology,Zhejiang,324000,China)Abstract:ThehigherdimensionalgeneralizationofJensen’inequalityisestablished.Asby-products,aseriesofdifferentfunctioninequalitiesonm-dimensionalspaceisobtainedwhichextendtheA-GmeaninequalityandCauchy’sinequality.Keywords:Jensen’inequality;functioninequality;higherdimensionalgeneralization1.引言1905年,丹麦数学家琴生(Jensen,1859-1925)证明了如下著名的琴生不等式[1]:设f(x)是定义在实数集M上的函数,且对任意的xl、x2∈M,都有,(1.1)则对任意的xi∈M(i=1,2,…,n),有,(1.2)在文[2]中,李世杰证明了如下的“母”函数不等式:设f(x)的定义域为M(M为[a,b],或(a,b),或无穷区间),(x)是M上的连续函数,且存在反函数.若对任意的xl、x2∈M,都有,(1.3)则对任意的xi∈M(i=1,2,…,n),有第2页共9页第1页共9页编号:时间:2021年x月x日书山有路勤为径,学海无涯苦作舟页码:第2页共9页,(1.4)若(1.3)中等式成立的条件是x1=x2,则(1.4)中等式成立的条件是x1=x2=…=xn.本文下面先给出不等式(1.4)的一个高维推广,为方便计,引入下列记号:设M=M1×M2×…×Mm(Mi为[ai,bi],或(ai,bi),或无穷区间,m≥1).特别地,收稿日期:[作者简介]:李世杰,(1960-),男,浙江东阳人,汉,中学高级教师,理学士,研究方向:解析不等式及数学教学若Mi=R+=,i=1,2,…,m,则M记作.对于,表示m维向量:其它符号意义依次类推.2.主要结论定理1设f(X)的定义域为M,i(x)是定义在Mi上的连续函数,且存在反函数,i=1,2,…,m.若对X1、X2∈M,,和常数,都有,且,(2.1)等式成立的条件是X1=X2.则对Xi∈M(,n≥2),,,都有(2.2)这里p是满足的整数,,(2.2)中等式成立的条件是X1=X2=…=Xn.下面用反向数学归纳法证明这一不等式.第3页共9页第2页共9页编号:时间:2021年x月x日书山有路勤为径,学海无涯苦作舟页码:第3页共9页证明首先证明n=2p(p∈N,p≥2)时,结论成立.当n=2时,由(2.1)及其等式成立的条件知结论成立.假设n=2k(k∈N,k≥2)时,结论成立,即对Xi∈M(),有,(2.3)等式成立的条件是X1=X2=…=.则对Xi∈M(),有,(2.4)等式成立的条件是….又根据n=2时的结论,在(2.1)中作置换,,可得+即第4页共9页第3页共9页编号:时间:2021年x月x日书山有路勤为径,学海无涯苦作舟页码:第4页共9页+,(2.5)等式成立的条件是,.联合(2.3)、(2.4)、(2.5)得(2.6)等式成立的条件是,由于存在反函数,必一一对应,故由上面方程组可推得不等式(2.6)中等式成立的条件是X1=X2=…=.因此对n=2p(p∈N,p≥2)结论恒成立.当时,前面已证成立结论:(2.7)第5页共9页第4页共9页编号:时间:2021年x月x日书山有路勤为径,学海无涯苦作舟页码:第5页共9页当时,取Xn+1=Xn+2=…,则Xn+1=Xn+2=…,代入(2.7)式化简后即可得到(2.2)式.综上,我们就证明了不等式(2.2)结论对n≥2恒成立.定理2设f(X)的定义域为M,i(x)是定义在Mi上的连续函数,且存在反函数,i=1,2,…,m.若对X1、X2∈M和常数,都有,且,(2.8)等式成立的条件是X1=X2.则对Xi∈M(,n≥2),有(2.9)这里p是满足的整数,(2.9)中等式成立的条件是X1=X2=…=Xn.证明与定理1相似,首先证明n=2p(p∈N,p≥2)时结论成立,再如对(2.7)式取特值,即可获证,过程略去.定理3设f(X)的定义域为M,i(x)是定义在Mi上的连续函数,且存在反函数,i=1,2,…,m.若对X1、X2∈M,和常数,...