一道高考数学题的推广

一道高考题的推广 2004 年高考北京卷数学（理科）17 题：过抛物线y2=2 px( p>0)上一定点P( x0, y0)( y0>0)作两条直线分别交抛物线于 A( x1, y1)，B( x2, y2)，（Ⅰ）求该抛物线上纵坐标为p2 的点到焦点 F 的距离;（Ⅱ）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+ y2y0的值，并证明直线 AB 斜率是非零常数.解：（Ⅰ）当y= p2 时，x= p8 ，所求距离为5 p8（Ⅱ）设P(2 pt02,2 pt0)(t0>0)，A(2 pt12,2 pt1)，B(2 pt22 ,2 pt2)则k PA=1t0+t1 ，k PB=1t0+t2 ，k AB=1t1+t2 PA、PB 倾斜角互补∴k PA+k PB=0∴t1+t2=−2t0∴k AB=− 12t0=− py0推广 1：过抛物线y2=2 px( p>0)上一定点P( x0, y0)( y0≠0)，作两直线分别交抛物线于 A、B 两点，当直线 PA、PB 的斜率存在且倾斜角互补时，则k AB=− py0推广 2：过椭圆x2a2 + y2b2 =1( a>b>0)上一定点P( x0, y0)( y0≠0)作两直线分别交椭圆于 A、B 两点，当直线 PA、PB 的斜率存在且倾斜角互补时，则k AB= b2 x0a2 y0证明：设P(acos θ,b sinθ)(θ≠kπ ,k ∈Z)，A( acosα ,bsin α)，A( acosα ,bsin α)k PA= bsin θ−bsin αacosθ−acosα =−ba⋅cos θ+α2sin θ+α2=−ba cot θ+α2k PB= asin θ−bsin βacosθ−acos β =−ba⋅cos θ+β2sin θ+β2=−ba cot θ+β2 k PA+k PB=0∴α+β=2kπ−2θ(k ∈Z)∴k AB=− ba⋅cot α+β2= bacosθsinθ = b2 x0a2 y0推广 3：过双曲线x2a2 − y2b2 =1(a>0 ,b>0)上一定点P( x0, y0)( y0≠0)作两直线分别交双曲线于 A、B 两点，当直线 PA、PB 的斜率存在且倾斜角互补时，则k AB=− b2 x0a2 y0仿推广 2 的证明，即可证得.推广 4：过不在抛物线 y2=2 px( p>0)上的一定点P( x0, y0)，作两直线分别交抛物线于 A、B、C、D 四点，当直线 AB、CD 的斜率存在且倾斜角互补时，则 A、B、C、D 四点共圆。证明：设直线 AB 的倾斜角为α (α≠0),则直线 AB 的方程为:{x=x0+tcosα¿¿¿¿（t 为参数）代入抛物线得：( y0+t sinα )2=2 p(x0+t cos α )t2sin2α +(2 y0sinα−2 pcosα )t+ y2−2 px0=0则t 1⋅t 2= y02−2 px0sin2α∴|PA|⋅|PB|=|y02−2 px0|sin2α同理∴|PC|⋅|PD|=|y02−2 px0|sin2( π−α )=| y02−2 px0|sin2 α∴|PA|⋅|PB|=|PC|⋅|PD|∴A、B、C、D 四点...