第1页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共9页第四讲数学思维的开拓性一、概述数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。数学思维的开拓性主要体现在：(1)一题的多种解法例如已知复数z满足|z|=1，求|z−i|的最大值。我们可以考虑用下面几种方法来解决：①运用复数的代数形式；②运用复数的三角形式；③运用复数的几何意义；④运用复数模的性质（三角不等式）||z1|−|z2||≤|z1−z2|≤|z1|+|z2|；⑤运用复数的模与共轭复数的关系|z|2=z⋅z；⑥（数形结合）运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆|z|=1与|z−i|=r有公共点时，r的最大值。(2)一题的多种解释例如，函数式y=12ax2可以有以下几种解释：①可以看成自由落体公式s=12gt2.②可以看成动能公式E=12mv2.③可以看成热量公式Q=12RI2.又如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷。第2页共9页第1页共9页xlM·yd图4－2－1O编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共9页“1”可以变换为：logaa,xx,sin2x+cos2x,(logab)⋅(logba),sec2x−tg2x，等等。1．思维训练实例例1已知a2+b2=1,x2+y2=1.求证：ax+by≤1.分析1用比较法。本题只要证1−(ax+by)≥0.为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2便不难解决。证法1 1−(ax+by)=12(1+1)−(ax+by)=12(a2+b2+x2+y2)−(ax+by)=12[(a2−2ax+x2)+(b2−2by+y2)]¿12[(a−x)2+(b−y)2]≥0,所以ax+by≤1.分析2运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。因此，证明过程必须步步可逆，并注意书写规范。证法2要证ax+by≤1.只需证1−(ax+by)≥0,即2−2(ax+by)≥0,因为a2+b2=1,x2+y2=1.所以只需证(a2+b2+x2+y2)−2(ax+by)≥0,即(a−x)2+(b−y)2≥0.因为最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。分析3运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法）第3页共9页第2页共9页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共9页证法3 ax≤a2+x22,by≤b2+y22.∴ax+by≤a2+x22+b2+y22=1.即ax+by≤1.分析4三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于1的形式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。证法4 a2+b2=1,x2+y2=1,∴可设∴a=sinα,b=cosα.x=sinβ,y=cosβ∴ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α−β)≤1,分析5数形结合法：由于条件x2+y2=1可看作是以原点为圆心，半径为1的单位圆，而ax+by=ax+by√a2+b2.联系到点到直线距离公式，可得下面证法。证法5（如图4-2-1）因为直线l:ax+by=0经过圆x2+y2=1的圆心O，所以圆上任意一点M(x,y)到直线ax+by=0的距离都小于或等于圆半径1，即d=|ax+by|√a2+b2=|ax+by|≤1⇒ax+by≤1.简评五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法。除了证法4、证法5的方法有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法。可在具体应用过程中，根据题目的变化的需要适当进行选择。例2如果(z−x)2−4(x−y)(y−z)=0,求证：x、y、z成等差数列。分析1要证x、y、z，必须有x−y=y−z成立才行。此条件应从已知条件中得出。故此得到直接的想...
