高等数学(二)重点知识及解析(占80分左右)Ⅰ、函数、极限一、基本初等函数(又称简朴函数):(1)常值函数:(2)幂函数:(3)指数函数:(〉0,(4)对数函数:(〉0,(5)三角函数:,,,(6)反三角函数:,,,二、复合函数:要会判断一种复合函数是由哪几种简朴函数复合而成的。例如:是由,这两个个简朴函数复合而成.例如:是由,和这三个简朴函数复合而成.该部分是背面求导的关键!三、极限的计算1、运用函数持续性求极限(代入法):对于一般的极限式(即非未定式),只要将代入到函数体现式中,函数值即是极限值,即。注意:(1)常数极限等于他自身,与自变量的变化趋势无关,即。(2)该措施的使用前提是当的时候,而时则不能用此措施。例1:,,,,例2:例3:(非特殊角的三角函数值不用计算出来)2、未定式极限的运算法(1)对于未定式:分子、分母提取公因式,然后消去公因式后,将代入后函数值即是极限值。例1:计算.………未定式,提取公因式解:原式=例2:计算.………未定式,提取公因式解:原式===(2)对于未定式:分子、分母同步除以未知量的最高次幂,然后运用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。例1:计算………未定式,分子分母同步除以n解:原式………无穷大倒数是无穷小例2:计算.………未定式,分子分母同除以解:原式==………无穷大倒数是无穷小,因此分子是0分母是23、运用等价无穷小的代换求极限(1)定义:设和是同一变化过程中的两个无穷小,假如=1,称与是等价无穷小,记作~.(2)定理:设、、、均为无穷小,又~,~,且存在则=或(3)常用的等价无穷小代换:当时,~,~例1:当时,~2,~例2:极限===………用2等价代换例3:极限==………用等价代换Ⅱ、一元函数的微分学一、导数的表达符号(1)函数在点处的导数记作:,或(2)函数在区间(a,b)内的导数记作:,或二、求导公式(必须熟记)(1)(C为常数)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)例:1、=2、3、=4、5、6、三、导数的四则运算运算公式(设U,V是有关X的函数,求解时把已知题目中的函数代入公式中的U和V即可,代入后用导数公式求解.)(1)(2)尤其地(为常数)(3)例1:已知函数,求.解:===例2:已知函数,求和.解:===因此=(注意:lne=1,ln1=0)例3:已知函数,求.解:===四、复合函数的求导1、措施一:例如求复合函数的导数.(1)首先判断该复合函数是由哪几种简朴函数复合而成的.如由和这两个简朴函数复合而成(2)用导数公式求出每个简朴函数的导数.即=,=2(3)每个简朴函数导数的乘积即为复合函数的导数;注意中间变量要用原变量替代回去.∴=2=22、措施二(直接求导法):复合函数的导数等于构成该复合函数的简朴函数导数的乘积。假如对导数公式熟悉,对复合函数的过程清晰,可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导.例1:设函数,求.解:==·=·=例2:设函数,求.解:==·=注意:一种复合函数求几次导,取决于它由几种简朴函数复合而成。五、高阶导数1、二阶导数记作:,或我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数.2、求法:(1)二阶导数就是对一阶导数再求一次导(2)三阶导数就是对一阶导数求两次导,对二阶导求一次导例1:已知,求.解: =,∴=例2:已知,求.解: ==,∴=2=4即=六、微分的求法:(1)求出函数的导数.(2)再乘以即可.即.例1:已知,求.解: ====∴=例2:设函数,求.解: ==∴=Ⅲ、二元函数的微分学一、多元函数的定义:由两个或两个以上的自变量所构成的函数,称为多元函数。其自变量的变化范围称为定义域,一般记作。例如:二元函数一般记作:,二、二元函数的偏导数1、偏导数的表达措施:(1)设二元函数,则函数在区域D内对和对的偏导数记为:,,;,,(2)设二元函数,则函数在点处对和对的偏导数记为:,,;,,;2、偏导数的求法(1)对求偏导时,只要将当作是常量,将当作是变量,直接对求导即可.(2)对求偏导时,只要将当作是常量,将当作是变量,直接对求导即可.假如规定函数在点处的偏导数,只规定出上述偏导函数后将和代入即可.例1:已知函数,求和.解:=,=例2:已知函数,求和.解:=,=三、全微分1、全...