模糊效用约束下的消费者支出最小化赵明清(山东科技大学信息科学与工程学院，271019)摘要本文利用模糊优化方法，讨论了消费者的效用约束为模糊约束的条件下，如何确定各种商品购买量以使其支出达到最小的问题。关健词模糊规划，效用函数，隶属函数，消费者均衡1引言文[1]讨论了消费者在收入约束为模糊约束的条件下，如何确定各种商品的购买量以使其效用达到最大的问题。本文讨论的是该问题的对偶问题，即讨论消费者在效用约束为模糊约束的条件下，如何确定各种商品的购买量以使其支出达到最小的问题。效用约束的模糊化，使消费者行为分析更加接近实际。目前，尚无人对此问题进行讨论。赵明清,通讯地址：山东省泰安市山东科技大学信息科学与工程学院（271019），联系电话：0538—6227430（H）2模型的建立与分析为了讨论方便，设消费者仅购买两种商品，这两种商品的价格分别为P1P和2，购买数量分别为Q1Q和2；效用函数f(Q1,Q2)连续二次可微且严格凹。那么，模糊效用约束下消费者支出最小化问题可用模糊规划(Ⅰ){minI=P1Q1+P2Q2s.t.f(Q1,Q2)¿~U来描述。其中：I表示消费者支出；f(Q1,Q2)¿~U表示消费者的效用最好不要低于给定的效用U。根据假设，I=P1Q1+P2Q2分别在约束f(Q1,Q2)=U−l（l是伸缩指标，U−l是效用下限）和f(Q1,Q2)=U下的最小值都存在，不妨分别设为E0−l0(l0>0)E和0。对于模糊约束f(Q1,Q2)¿~U构造模糊约束集D1~，其隶属函数D1~(Q1,Q2)={0,f(Q1,Q2)≤U−l1+1l(f(Q1,Q2)−U),U−l
U对于目标函数I=P1Q1+P2Q2构造模糊目标集D2~，其隶属函数D2~(Q1,Q2)={0,P1Q1+P2Q2>E0−1l0(P1Q1+P2Q2−E0),E0−l00,u3=u4=u5=u6=0Q1,Q2>0−u1∂f∂Q1+u2P1=0(1)−u1∂f∂Q2+u2P2=0(2)−1+u1l+u2l0=0(3)f(Q1,Q2)−lλ−U+l=0(4)−P1Q1−P2Q2−l0λ+E0=0(5)由(1)、(2)两式，得∂f∂Q1/P1=∂f∂Q2/P2Δ=k(6)由(4)、(5)两式，得P1Q1+P2Q2=−l0l(f(Q1,Q2)−U+l)+E0(7)(6)、(7)两式是消费者均衡即模糊效用约束下的消费者支出最小化的必要条件，可以证明该条件也是消费者均衡的充分条件。由(6)式，得∂f∂Q1−kP1=0,∂f∂Q2−kP2=0令E(Q1,Q2,k,P1,P2,U,l)=∂f∂Q1−kP1F(Q1,Q2,k,P1,P2,U,l)=∂f∂Q2−kP2G(Q1,Q2,k,P1,P2,U,l)=P1Q1+P2Q2+l0l(f(Q1,Q2)−U+l)−E0则E，F，G关于Q1,Q2,k的Jacobi行列式∂(E,F,G)∂(Q1,Q2,k)=|∂E∂Q1∂E∂Q2∂E∂k∂F∂Q1∂F∂Q2∂F∂k∂G∂Q1∂G∂Q2∂G∂k|=|∂2f∂Q12∂2f∂Q1∂Q2−P1∂2f∂Q2∂Q1∂2f∂Q22−P2P1+l0l∂f∂Q1P1+l0l∂f∂Q20|=|∂2f∂Q12∂2f∂Q1∂Q2−1k∂f∂Q1∂2f∂Q2∂Q1∂2f∂Q22−1k∂f∂Q2(1k+l0l)∂f∂Q1(1k+l0l)∂f∂Q20|=−1k(1k+l0l)|¯H|其中¯H=|∂2f∂Q12∂2f∂Q1∂Q2∂f∂Q1∂2f∂Q2∂Q1∂2f∂Q22∂f∂Q2∂f∂Q1∂f∂Q20|为f(Q1,Q2)的加边Hessin矩阵。根据对f(Q1,Q2)的假设，|¯H|≠0。所以∂(E,F,G)∂(Q1,Q2,k)≠0进而，由隐函数组存在定理，(6)、(7)确定了唯一的一组隐函数{Q1=Q1(P1,P2,U,l)Q2=Q2(P1,P2,U,l)k=k(P1,P2,U,l)称Q1(P1,P2,U,l)Q和2(P1,P2,U,l)为模糊需求函数。或者说，对于给定的P1,P2,U,l，方程组(6)、(7)有唯一解Q1¿,Q2¿，相应的消费者最小支出I¿=P1Q1¿+P2Q2¿,隶属度D2~(Q1¿,Q2¿)=−1l0(P1Q1¿+P2Q2¿−E0)这也就是模糊规划（Ⅰ）的解。3结论(1)消费者均衡的充分要条件是∂f∂Q1/P1=∂f∂Q2/P2P1Q1+P2Q2...
