第1页共4页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共4页一：判断填空题（只有一个正确答案）（每题2分，共14分）1.f(x)=1lg|x−a|的定义域是(D).(A)(-,a)(a,+);(B)(-,a+1)(a+1,+);(C)(-,a-1)(a-1,+);(D)(-,a-1)(a-1,a)(a,a+1)(a+1,+).2.设f(x)tan20x.则当x0时,有().(A)f(x)与x同阶但非等价无穷小;(B)f(x)与x是等价无穷小;(C)f(x)是比x高阶的无穷小;(D)f(x)是比x低阶的无穷小.3.limx→o|6x|6x的极限是(D)(A)6；(B)-6；(C)等价无穷小；(D)不存在4．已知一个函数的导数为y'=lnx+1，,这个函数是（B）（A）y=lnx+2（B）y=xlnx+C（C）y=xlnx;（D）y=xlnx+25.函数y=4x3+12x-6在定义域内(A).(A)单调增加;(B)单调减少;(C)图形凹的;(D)图形凸的.6.不定积分y=∫x5ex3dx=(B)(A)13ex(x−1)+C(B)13ex3(x3−1)+C(C)ex3(x3−1)(D)ex3(x3+1)+C7.下列积分值为零的是(D).(A)∫−11|sin2x|dx(B)∫−11con2xdx(C)∫−11xsinxdx(D)∫−11sin2xdx;二：填空题（每题2分，共10分）1、函数f(x)在x点可导，则其导数的定义式为:limΔx→0f(x+h)−f(x)h第2页共4页第1页共4页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共4页2、设2t2+5tu2−5u+1=0确定了y是t的函数，则dudt|(1,1)=−95，3、函数y=exx在=0处的麦克劳林展式1+x+x22!+⋯+xnn!+eθx(n+1)!xn+1。4、d(cos2x)=−4√xcosxsinxd√x；5、积分中值公式是∫abf(x)dx=(b−a)f(ξ)a<ξ0,y>0)所确定,求dydx以及d2ydx2.解：两边取对数：1xlny=1ylnx,ylny=xlnx两边对x{求导数：y'=lnx+1lny+1,y=y(lny+1)2−x(lnx+1)2xy(lny+1)3¿第3页共4页第2页共4页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共4页(4)求极限limx→∞(√x2+x−√x2−x)=?解：−1四：求解下列问题。（每题5分，共20分）(1)．函数f(x)=x4x∈[0,a];（a）函数是否满足拉格朗日定理的所有条件?（b)給出拉格朗日定理的形式并求出形式中的中值x=？.解：满足，ξ=a3√4（2）∫12√32dx√1−x2解：∫12√32dz√1−z2z令=sinx∫π6π31√1−sin2x⋅cosxdx=∫π6π3dx=π3−π6=π6(3)求不定积分∫1−x√9−4x2dx解:12arcsin(23x)+14√9−4x2+C(4)求区间[0,π2]上,由曲线y=sinx与直线x=0、y=1所围成的图形的面积.解:S=∫0π2(1−sinx)dx=(x+cosx)|0π2=π2−1五：（每题15分，共30分）1、曲线f(x)=2x3−3x2−x+10，求f(x)的极值，单调区间，凹凸区间，拐点。最后结果请列表表示。（10分）第4页共4页第3页共4页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第4页共4页{解：y'=6x2−6x=6x(x−1),y''=12x−6,令y'=0,y''=0,得到x=0,x=1,x=12区间可划分为¿（−∞，0），（0，12），（12，1），（1，∞），可用下表格表示之¿¿¿区间(−∞,0)0(0,¿12)¿12(12,¿1)¿1(1,∞)y'y'>0极大值点y'<0y'<0极小值点y'>0y''y''<0y''<00y''>0y''>0y↑∩极大值=10↓∩拐点(12,9)↓∪极小值=4↑∪2:证明题（1）证明不等式，在区间[π4，π2]上不等式成立sinxπ2≤sinxx≤sinπ2x(2)证明积分不等式√2π≤∫π4π2sinxxdx≤ln2证明：（1）y=sinx,y=x在[π4，π2]上单调上升，故当x∈[π4，π2]时有sinxπ2≤sinxx≤sinπ2x=1x(2)对上面的不等式积分即可。
