第2课时三角形三个内角的平分线1．能证明三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．2．能利用角平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算．阅读教材P30-P31“随堂练习”之前的内容，完成下列问题。自学反馈学生独立完成下列问题：已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，证明：P点在∠BAC的角平分线上．证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．同理：PE=PF．∴PD=PF．∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．总结：在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．活动1小组讨论例1已如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD=4cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD．解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB∴DE=CD=4cm，又∵AC=BC，∴∠B=∠BAC，又∵∠C=90°，∴∠B=∠BDE=45°，∴BE=DE在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理得，BD=cm∴AC=BC=CD+BD=4+(cm)（2）由（1）的求解过程可知：△ACD≌△AED，∴AC=AE，又∵BE=DE=CD∴AB=AE+BE=AC+CD本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC=CD+DB，CD=4cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长．第(2)问中，求证AB=AC+CD．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE．例2直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的?解：∵中转站要到三条公路的距离都相等，∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，∴货物中转站可以供选择的地址有4个.利用角平分线的性质定理和判定定理．活动2跟踪训练1.如图,已知点P到△ABC的三条边所在直线的距离相等,则下列说法不正确的是(D)A.点P在∠B的平分线上B.点P在∠ACE的平分线上C.点P在∠DAC的平分线上D.点P在三边的垂直平分线上2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E.若BC=32,且BD∶DE=9∶7,则CD的长为14.3.如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=36cm2,AB=18cm,BC=12cm,则DE的长是2.4㎝.4.如图,在△ABC中,N是三条角平分线的交点,EF⊥BN于点N,∠BAN=20°,∠ENA=30°,则∠FNC=20°.(第3题图)(第4题图)5.如图,已知AO平分∠BAC,OD⊥BC,OE⊥AB,垂足分别为D,E,且OD=OE.求证:CO平分∠ACB.证明：∵OD⊥BC,OE⊥AB,且OD=OE,∴点O在∠B的平分线上.又∵AO平分∠BAC,∴点O是△ABC的角平分线的交点,即CO平分∠ACB(三角形的三条角平分线相交于一点).活动3课堂小结本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．
