八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.1 直角三角形的三边关系 第2课时 勾股定理的验证及简单应用学案 （新版）华东师大版-（新版）华东师大版初中八年级上册数学学案VIP免费

第2课时勾股定理的验证及简单应用课前知识管理对于勾股定理的探索，可以采用测量、计算、观察和动手操作的方法来验证其正确性．课本主要运用拼图的方法，利用两种方法表示同一个图形的面积来验证勾股定理．如图1，是由4个完全相同的直角三角形拼成的，得到一个边长为（a+b）的大正方形和以斜边c为边长的小正方形，有（a+b）2=4×ab+c2，整理可得a2+b2=c2．对于图2，有S正方形EFGH=c2=（b-a）2+4×ab，即c2=a2+b2．名师导学互动典例精析：知识点1：用拼图法验证勾股定理例1、请判断一下，下列图形中，哪些可以用来验证勾股定理.【解题思路】①大正方形的面积等于四个直角三角形面积加中间小正方形面积；②中间正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形面积；③推导不出.【解】①②可以验证勾股定理.【方法归纳】勾股定理的验证，主要通过拼接图形的面积来实现.对应练习：请结合以下图形，验证勾股定理.知识点2：方程的思想例2、如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD．【解题思路】【解】设DC=，则BD=14－，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：（14－+，两式相减得：，解得：．在Rt△ACD由勾股定理得：AD=12．【方法归纳】由于勾股定理反映了直角三角形三边的数量关系，所以在应用勾股定理解决问题时，要考虑应用定理列方程来求解．对应练习：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A2cmB3cmC4cmD5cm知识点3：数形结合的数学思想例3、某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域.试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由.【解题思路】【解】构造数学模型，如图所示，设O为风暴中心，OC为风暴中心移动方向，AD⊥OC.在Rt△OAD中，∠AOD=30°，OA=300km，所以AD=150km<200km，即A城受到这次风暴的影响.如图，设AB=AC=200km，在Rt△ABD中，应用勾股定理，得，所以，A城遭受风暴影响的时间（小时）.【方法归纳】勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想．知识点4：分类讨论的数学思想例4、在中，边上的高则的长为.【解题思路】三角形中某边上的高既可在三角形内部，也可在三角形的外部，故此题应分为两种情况来考虑.当边上的高在的内部时，如图，由勾股定理，得得，得则；当上的高在的外部时，如图，同样由勾股定理可求得，这时，故的长为或.【解】或.【方法归纳】当元素之间的位置关系没有限制时，要对可能的情形分类进行讨论.对应练习：已知直角三角形的两边长分别为5，12，求第三边的长.知识点5：整体思想例5、如图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.已知大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的短直角边是a,较长直角边是b,则的值为()A.13B.19C.25D.169【解题思路】由勾股定理可得到两个变形：和.通过这两个变形，我们可以从中任意两个出发，求出其他各个量.仔细观察图形，不难得到：，，利用，可求得，故==13+12=25.【解】选C.【方法归纳】利用整体思想可避免繁琐的运算，达到快速求值的目的.对应练习：如图，的周长为32，且于，的周长为24，那么的长为．知识点6：转化思想例6、如图，高速公路的同一侧有A、B两个奥运村，它们到高速公路所在的直线MN的垂直距离分别为=2km，=4km，km，要在高速公路上A、B之间设一个出口P，使A、B两个奥运村到P的距离之和最短，则这个最短距离是.【解题思路】过B作关于MN的对称点B′，连接AB′交于点P.因垂直平分BB′，所以PB=PB′，则AP+PB=AP+PB′=AB′，由“两点之间，线段最短”易知，P点为到A、B距离之和最短的点.【解】过点A作AE垂直于BB′于E，则AE==8km，B′E=+=6km，由勾股定理，得AB′==10km，即AP+PB=AP+PB′=AB′=10km，故最短出口P到A、B两个奥运村距离和为10km.【方法归纳】本题可转化为“在直线同侧有两点A、B，试在上找一点P，使PA+PB最小利用对称作图即可.对应练习：为了向建国六十周年献礼，...