等腰三角形【学习目标】1．掌握并会运用“等角对等边”判定等腰三角形；2．归纳证明两条线段相等的常用方法；3．引导学生观察、发现等腰三角形的判定方法，让学生从观察中获得成功，在这个过程中体验学习的兴趣．【学习重点】“等角对等边”定理的理解及其应用．【学习难点】等腰三角形的判定和性质的区别，“等角对等边”的理解及其应用．【学前准备】认真阅读课本P77---P78，完成练习1．复习回顾：等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合．2．复习练习⑴等腰三角形的两边长分别为6，8，则周长为；⑵等腰三角形的周长为14，其中一边长为6，则另两边分别为；⑶等腰三角形的一个角为70°，则顶角的度数是；⑷等腰三角形的一个角为120°，则底角的度数是；⑸如图，在△ABC中，AB=AC，①若AD平分∠BAC，那么、；②若BD＝CD，那么、；③若AD⊥BC，那么、．3．如图：在中，∠B=∠C，你能证明AB=AC吗？（1）作高AD可以吗？（2）作角平分线AD呢？（3）作中线AD呢？【课堂探究】归纳：DABC等腰三角形的判定定理：．（简写成：“”）．几何语言：∵在△ABC中，=（已知）∴=（）即△ABC是三角形另外，根据定义，等腰三角形还有一种判定方法为．例1如图，在△ABC中，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，分别求出∠ABD、∠BDC，并说明图中有哪些等腰三角形．例2如图，AD是△ABC一个外角∠CAE的平分线，（1）若AD∥BC，求证：AB=AC．（2）若AB=AC，求证：AD∥BC．【课堂检测】1．如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD．课堂检测：2．如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．小结:证明两条线段相等的方法．课后作业1308－－等腰三角形的判定（课时8）1．如右图，△ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，图中那些角相等？哪些线段相等？2．如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证△CEB是等腰三角形．3．如图，已知：△ABC中，AB=AC，BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则△DBC是怎样的三角形？说明理由．4.如图所示，沿长方形ABCD的对角线BD翻折△ABD得△A/BD,A/D交BC于F,重叠部分△BDF是何种三角形？请说明理由.5．如图，CD、BD平分∠BCA及∠ABC，EF过D点，且EF∥BC，(1)若∠A＝70°，求∠BDC；(2)求证：EF=BE+CF．6．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接EF，EF与AD交于G，（1）求证：∠DEF=∠DFE；（2）求证：AE=AF；（3）求证：AD垂直平分EF．【教学反思】答案：【学前准备】2.复习练习（1）20或22（2）4，4（3）70°，40°（4）30°（5）①AD⊥BCBD=DC②AD平分∠BACAD⊥BC③AD平分∠BACBD=DC3.(1)AAS（2）AAS(3)SSS例1.解：∵∠C=72°，∠DBC=36°，∠A=36°∴∠ABD=180°-72°-36°-36°=36°=∠A，∴AD=BD，△ADB是等腰三角形，∵根据三角形内角和定理知∠BDC=180°-72°-36°=72°=∠C，∴BD=BC，△BDC是等腰三角形∵∠C=∠ABC=72°∴AB=AC，△ABC是等腰三角形故图中共3个等腰三角形△ADB、△BDC、△ABC例2（1）证明：∵AD是△ABC外角的平分线∴∠1=∠2∵AD//BC∴∠1=∠B，∠2=∠C∴∠B=∠C∴AB=AC(2)∵AB=AC∴∠B=∠C∵∠EAC=∠1+∠2=∠B+∠C∴∠B=∠1∴AD//BC课堂检测：1.证明：∵AB//DC∴∠D=∠B，∠C=∠A∵OA=OB∴∠A=∠B∴∠C=∠D∴OC=OD2.证明：∵AD//BC∴∠ADB=∠DBC∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠DBC∴∠ABD=∠ADB∴AB=AD1.∠B=∠C=∠CAD=∠BAD，∠CAB=∠CDA=∠BDAAB=AC=BD=AD=CD2.证明:∵CE//DA∴∠CEB=∠A∵∠A=∠B∴∠B=∠CEB∴CE=BE∴△CEB是等腰三角形3.解：等腰三角形证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∴∠DBC=∠DCB，∴△DBC为等腰三角形．4.解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠1=∠2，∵沿矩形ABCD的对角线BD翻折△ABD得△A′BD，∴△ABD≌△A′BD，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴BF=DF，∴△BDF是等腰三角形．5.解：（1）∵∠A=70°∴∠ABC+∠ACB=110°∵CD、BD平分∠BCA及∠ABC∴∠DBC+∠DCB=55°∴∠BDC=125°（2）∵EF//BC∴∠EDB=∠DBC，∵BD平分∠ABC∴∠DBC=∠DBE∴∠DBE=∠EDB∴BE=DE，同理可知：DF=FC∴EF=ED+DF=EB+FC6.（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线DE⊥AB，DF⊥AC∴DE=DF∴∠DEF=∠DFE（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中DE=DFAD=AD∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)∴AE=AF(3)∵AE=AF∴点A在EF的垂直平分线上∵ED=FD∴点D在EF的垂直平分线上∴AD垂直平分EF
