28.1锐角三角函数锐角三角函数(第2课时)学习目标1.探究体验,当直角三角形的锐角固定时,它是邻边与斜边、对边与邻边都固定这一事实.2.理解余弦、正切的概念,能根据余弦、正切的概念进行相关计算.学习过程一、自主复习1.在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比都是.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的,记作.二、新知探究1.问题如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C',中,∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'.那么(1)ACAB与A'C'A'B'有什么关系?(2)BCAC与B'C'A'C'呢?解析:(1)∵∠C=∠C'=90°,,∴△ABC∽△A'B'C',∴,即ACAB=A'C'A'B'.(3)∵△ABC∽△A'B'C',∴,即BCAC=B'C'A'C'.2.结论:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的邻边斜边叫做∠A的,记作,即cosA=.(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的对边∠A的邻边叫做∠A的,记作,即tanA=.(3)锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的.三、例题探析1.例题:(教材例2)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sinA、cosA、tanA的值.解:由勾股定理,得AC===,故sinA=∠A的对边斜边==,cosA=∠A的邻边斜边==,tanA=∠A的对边∠A的邻边==.2.拓展:在例题的条件下,求sinB,cosB,tanB的值.解:四、知识梳理本节课你所学习的三个定义分别是什么?答:评价作业(满分100分)1.(8分)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则下列等式中不正确的是()A.a=c×sinAB.b=a×tanBC.b=c×sinBD.c=bcosB2.(8分)已知Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则tanB的值是()A.35B.34C.45D.433.(8分)已知Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=43,BC=8,则AC等于()A.6B.323C.10D.124.(8分)如图所示,若cosα=❑√1010,则sinα的值为()A.❑√1010B.23C.34D.3❑√10105.(8分)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,则cos∠ABC的值是.6.(8分)如图所示,AB是☉O的直径,AB=15,AC=9,连接BC,则tan∠ADC=.7.(8分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM是BC边上的中线,sin∠CAM=35,则tanB的值是.8.(10分)在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=23,AB=26.求cosB及AC的长.9.(10分)如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,tanB=cos∠DAC.(1)求证AC=BD;(2)若sinC=1213,BC=12,求AD的长.10.(12分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,AC=2,CD=1,设∠CAD=α.(1)求sinα,cosα,tanα的值;(2)若∠B=∠CAD,求BD的长.11.(12分)在Rt△ABC中,∠C=90°,请利用锐角三角函数的定义及勾股定理探索∠A的正弦、余弦之间的关系.参考答案学习过程一、自主复习1.固定的2.正弦sinA二、新知探究1.解析:(1)∠A=∠A'ACA'C'=ABA'B'(2)BCB'C'=ACA'C'2.结论:(1)余弦cosAbc(2)正切tanAab(3)锐角三角函数三、例题探析1.解:❑√AB2-BC2❑√102-628BCAB35ACAB45BCAC342.解:sinB=ACAB=45,cosB=BCAB=35,tanB=ACBC=43.四、知识梳理答:略评价作业1.D2.D3.A4.D5.❑√556.347.238.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∴tanA=BCAC=23,∴设BC=2k,AC=3k,由勾股定理可得AB=❑√13k,∴❑√13k=26,∴k=2❑√13,∴BC=2k=4❑√13,AC=3k=6❑√13,∴cosB=BCAB=4❑√1326=2❑√1313.∴AC的长为6❑√13,cosB=2❑√1313.9.(1)证明:∵AD是BC边上的高,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∠ADC=90°.在Rt△ABD和Rt△ADC中,tanB=ADBD,cos∠DAC=ADAC,又∵tanB=cos∠DAC,∴ADBD=ADAC,∴AC=BD.(2)解:在Rt△ADC中,sinC=ADAC=1213,故可设AD=12k,AC=13k,∴CD=√AC2-AD2=5k,∵BC=BD+CD,又AC=BD,∴BC=13k+5k=18k,∵BC=12,∴18k=12,∴k=23,∴AD=12k=12×23=8.10.解:在Rt△ACD中,∵AC=2,DC=1,∴AD=❑√AC2+CD2=❑√5.(1)sinα=CDAD=1❑√5=❑√55,cosα=ACAD=2❑√5=2❑√55,tanα=CDAC=12.(2)在Rt△ABC中,tanB=ACBC,即tanα=2BC=12,∴BC=4,∴BD=BC-CD=4-1=3.11.解:∠A的正弦、余弦值的平方和等于1,理由如下:∵sinA=ac,cosA=bc,a2+b2=c2,∴sin2A+cos2A=(ac)2+(bc)2=a2+b2c2=1.
