八年级数学下册 1.4 角平分线的性质 第1课时 角平分线的性质和判定导学案 （新版）湘教版-（新版）湘教版初中八年级下册数学学案VIP专享VIP免费

第1课时角的平分线的性质和判定1.掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质.2.掌握角平分线的判定，熟练运用角的平分线的判定及性质解决问题.阅读教材P22-24练习以上部分，掌握并理解三角形的三条角平分线的性质和角平分线的判定，学生独立完成下列问题：（1）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.（2）角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.自学反馈1.如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC的长多少？解：15cm.角平分线的性质是证明线段相等的另一途径，通常能使证明过程简略.其前提条件有两条，角平分线和垂直.2.如图，在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF相交于点F.求证：点F也在∠BAC的平分线上.证明：过点F作FM⊥BC于点M，FG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，∵BF、CF是∠CBD和∠BCE的平分线，∴FG=FM，FH=FM.∴FG=FH.∴点F也在∠BAC的平分线上.过点F作AD、BC、AE的垂线段FG、FM、FH，然后证FG=FH.活动1小组讨论例1已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：DE＝DF.证明：在△ABD与△ACD中，∵AB=AC，AD=AD，BD=CD，∴△ABD≌△ACD.∴∠BAD＝∠CAD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.先利用等腰三角形顶角平分线、底边上的中线互相重合证得AD为顶角平分线，然后运用角平分线的性质证DE=DF.例2已知：如图所示，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△CDF(AAS)．∴DE＝DF.又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，∴AD平分∠BAC.活动2跟踪训练1.已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC.(画出图形，并写出画法)解：作∠B的平分线交AC于点P.2.如图，已知△ABC内，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点P，且PD、PE、PF分别垂直于BC、AC、AB于D、E、F三点.求证：PD＝PE＝PF.证明：∵BP是∠ABC的平分线，PF⊥AB，PD⊥BC，∴PF=PD.同理证得PE=PD.∴PD=PE=PF.角平线的性质是证线段相等的另一途径.3.已知,如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°.试判断DE和DF的大小关系并说明理由.解：结论：DE=DF.(提示：过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，则DM⊥DN，再证△DME≌△DNF，∴DE=DF.)在已知角的平分线的前提下，做两边的垂线段是常用辅助线之一.4．已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.证明：(1)∵∠1＝∠2，OD⊥AB，OE⊥AC，∴OE＝OD，∠ODB＝∠OEC＝90°.在△BOD和△COE中，∴△BOD≌△COE(ASA)．∴OB＝OC.(2)在△BOD和△COE中，∴△BOD≌△COE(AAS)．∴OD＝OE.又∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AO平分∠BAC，即∠1＝∠2.活动3课堂小结1.在本节中，在已知角平分线的条件下，常想到过角平分线上的点向角两边做垂线段的方法.在已知角平分线的条件下，也可想到翻折造全等的方法.2.角平分线的性质是证线段相等的常用方法之一，角平分线的性质与判定通常是交叉使用，做角的平分线或过角的平分线上一点做角两边的垂线段是常用辅助线之一.