一元二次方程的根的判别式名师解惑1．一元二次方程的根的判别式.释疑：一元二次方程的根的情况由Δ＝b2－4ac的符号决定.在判断一元二次方程根的情况时，应确定Δ的符号．(1)Δ＞0方程有两个不相等的实数根；(2)Δ＝0方程有两个相等的实数根；(3)Δ＜0方程没有实数根；(4)Δ≥0方程有实数根．在学习一元二次方程根的判别式时，要注意：(1)使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a、b、c的值；(2)Δ＝b2－4ac是一元二次方程根的判别式，故应注意二次项系数a≠0这个条件．2．一元二次方程的根的判别式的应用.释疑：利用根的判别式，可以做下面这样类型的题目：(1)不解方程，判定方程根的情况；(2)根据根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)证明方程有无实根．讲练互动【例1】一元二次方程x2+4x+c＝0中，c＜0，该方程的解的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无法确定解析：判断方程解的情况，即看Δ＝b2－4ac与0的情况.由于Δ＝42－4c，c＜0，∴Δ＞0．答案：B绿色通道：判定一元二次方程根的情况，要根据根的判别式来确定.当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．变式训练：1下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+1＝0B．x2+2x+1＝0C．x2+2x+3＝0D．x2+2x－3＝0答案：D解析看哪个方程的判别式大于0，显然只有D符合．【例2】已知关于x的一元二次方程(m－2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m>B．m≥C．m>且m≠2D．m≥且m≠2解析：由题意知，m－2≠0且Δ＝b2－4ac＞0，∴Δ＝(2m+1)2－4(m－2)2＝20m－15＞0，解得m>且m≠2．答案：C黑色陷阱：用判别式求字母系数的取值范围时，千万不要忘记二次项系数不为0这个条件．变式训练：2.已知关于x的一元二次方程x2－m＝2x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＞－1B．m＜－2C．m≥0D．m＜0答案：A解析由Δ=b2-4ac>0,可求出m的范围.【例3】证明：不论m为何值，方程2x2－(4m－1)x－m2－m=0总有两个不相等的实数根．分析：要证明方程有两个不相等的实数根，只要确定判别式Δ＞0即可．证明：∵b2－4ac＝［－(4m－1)］2－4×2×(－m2－m)＝24m2+1＞0．∴方程有两个不相等的实数根．绿色通道：证明方程有无实数根时，应先整理、化简，再判断与0之间的关系，从而得出结论．变式训练：3.方程x2－6x－1＝0根的情况是（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根答案：C解析：根的判别式Δ＝b2－4ac＝62－4×1×(－1)＝40，所以方程有两个不相等的实数根．
