第二十一章一元二次方程21.2一元二次方程解法复习*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系学习目标1.探究并能推导一元二次方程的根与系数的关系.2.熟练运用根与系数的关系求两根和、两根积.3.提高综合运用基础知识解决较复杂问题的能力.学习过程一、设计问题,创设情境(一)温故知新1.一元二次方程的一般形式是什么?2.一元二次方程的求根公式是什么?使用它的前提又是什么?3.你能说一下哪些方面能反映一元二次方程的系数与根的关系吗?(二)探究活动1.一元二次方程的根与系数之间的联系还有其他表现方式吗?填写下表:方程两个根两根之和两根之积x1x2x1+x2x1x2x2+x-6=0x2+10x+9=0x2-6x+8=02.你发现了吗:如果x2+px+q=0有两个根x1,x2,那么这两个根与系数有怎样的关系?3.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)如果有两个根x1,x2,那么它们与系数会有怎样的关系呢?你能推导出你的结论吗?二、信息交流,揭示规律1.学生尝试推导得出的结论方法一:ax2+bx+c=0(a≠0)➡x2+bax+ca=0,那么就有:x1+x2=-ba,x1x2=ca.方法二:根据求根公式x=-b±❑√b2-4ac2a(b2-4ac≥0),推导:2.师生共同得出结论:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1,x2,那么:3.教师总结:上述结论称为一元二次方程的根与系数的关系,也叫韦达定理(可以根据学生能力决定是否给出定理的名字).三、运用规律,解决问题1.例题:根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1与x2的和与积:(1)x2-6x-15=0;(2)3x2+7x-9=0;(3)5x-1=4x2.2.跟踪练习:不解方程,求下列方程两个根的和与积:(1)x2-3x=15;(2)3x2+2=1-4x;(3)5x2-1=4x2+x;(4)2x2+x+2=3x+1.3.学生讨论:通过前面的练习,总结在运用关系解决问题时对步骤有什么要求?四、变式训练,深化提高1.设x1,x2是方程x2-4x+1=0的两个根,则x1+x2=,x1x2=.2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1,则p=,q=.3.如果-1是方程2x2-x+m=0的一个根,则另一个根是,m=.4.已知两个数的和是1,积是-2,则这两个数是.5.判断正误:以2和-3为根的方程是x2-x-6=0.()6.设想x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两根,不解方程求下列式子的值:1x1+1x2;x12+x22;x12x2+x1x22.7.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根,且(x1+1)(x2+1)=4.(1)求k的值;(2)求(x1-x2)2的值.五、反思小结,观点提高1.本节课我们学习了一个什么关系?2.在利用根与系数的关系求一元二次方程两根和、两根积时要注意什么步骤?3.同学们会利用根与系数的关系解决哪些类型的问题了?在解决问题的过程中你有哪些收获和疑惑?参考答案一、设计问题,创设情境(一)温故知新1.ax2+bx+c=0(a≠0).2.x=-b±❑√b2-4ac2a(b2-4ac≥0).3.根的判别式求根公式.(二)探究活动填写下表方程两个根两根之和两根之积x1x2x1+x2x1x2x2+x-6=0-32-1-6x2+10x+9=0-1-9-109x2-6x+8=024682.x1+x2=-p,x1x2=qx1+x2=-ba,x1x2=ca二、信息交流,揭示规律1.x1+x2=-b+❑√b2-4ac2a+-b-❑√b2-4ac2a=-b+❑√b2-4ac-b-❑√b2-4ac2a=-2b2a=-ba.x1x2=-b+❑√b2-4ac2a·-b-❑√b2-4ac2a=(-b)2-(b2-4ac)4a2=4ac4a2=ca.2.x1+x2=-ba;x1x2=ca.三、运用规律,解决问题1.解:(1)x1+x2=-(-6)=6,x1x2=-15.(2)x1+x2=-73,x1x2=-3.(3)方程化为4x2-5x+1=0.x1+x2=54,x1x2=14.2.解:(1)原方程化为x2-3x-15=0,则x1+x2=3,x1x2=-15.(2)原方程化为3x2+4x+1=0,则x1+x2=-43,x1x2=13.(3)原方程化为x2-x-1=0,则x1+x2=1,x1x2=-1.(4)原方程化为2x2-2x+1=0,则x1+x2=1,x1x2=12.3.略四、变式训练,深化提高1.412.1-23.32-34.2-15.×6.解:根据根与系数的关系,x1+x2=3,x1x2=32,所以1x1+1x2=x1+x2x1x2=332=2,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2×32=6,x12x2+x1x22=(x1+x2)x1x2=3×32=92.7.解:(1)根据根与系数的关系,x1+x2=-k;x1x2=k-12,所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=k-12+(-k)+1=4,解得k=-7.(2)因为k=-7,所以x1+x2=7,x1x2=-4,则(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=72-4×(-4)=65.
