19.2黄金分割名师导学典例分析例1已知线段MN=l,在MN上有一点A,如果,试判断A是不是MN的黄金分割点.思路分析：要判断A是不是MN的黄金分割点.,由于MN=1,因而,只要计算出MA的长即可,若,A点就是黄金分割点,否则就不是.解析：因为,MN=l,所以MA=MN－AN=.所以A点是MN的黄金分割点.例2如图19－2－2所示,在△ABC中,AB=AC=2,,∠A=36°,BD平分∠ABC,交AC于点D,试说明点D是线段AC的黄金分割点.思路分析：本题可先判别AD=BD=BC=,再根据黄金分割的概念确定这个特殊的结论,即可说明点D是AC的黄金分割点.解：在△ABC中,∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD平分∠ABC,∴∠1=∠2=36°,∴∠1=∠A,∴AD=BD,∴∠BDC=∠1+∠A=72°,∴∠BDC=∠C,∴BC=BD=AD=,∴,∴点D是线段AC的黄金分割点.变式训练：如图19－2－3所示,矩形ABCD内有一个AEFD,且.问点E是线段AB的黄金分割点吗?思路分析:仍依据黄金分割点的定义来解决,通过计算可知,而BC=AD=AE,即,显然点E是线段AB的黄金分割点.突破易错☆挑战零失误规律总结善于总结★触类旁通1方法点拨：判断一个点是不是已知线段的黄金分割点,可依据定义判断,只要满足相应的比例式就可确定其是黄金分割点；另外,也可用较长线段与总线段进行求比,若结果为,也可确定其为黄金分割点.2方法点拨：对于探索结论正确性的题目,一般都是从条件出发,根据数形结合的思想方法,结合图形的性质,用代数方法去论证.另外,本例中的三角形称为黄金三角形,即顶角为36°的等腰三角形叫做黄金三角形.该矩形中(即)是黄金比,也就是说,矩形ABCD的宽与长的比是黄金比,我们把这样的矩形称之为黄金矩形.
