3圆的对称性名师导学典例分析例1如图22－3－3,已知AB交⊙O于C、D,且AC=BD,你认为OA=OB吗
思路分析:证明OA=OB,只需证点O在AB的中垂线上,或证明含有OA与含有OB的三角形全等,可以过点O作OE⊥AB于点E,得CE=ED
又因为AC=BD,可得AE=BE,于是点O在线段AB的中垂线上,得OA=OB或利用△OAE≌△OBE得OA=OB
证法一：如图,过点O作OE⊥AB于点E
∴CE=DE(垂径定理)
又∵AC=BD,∴AE=BE,∴OE为AB的中垂线,∴OA=OB
证法二：过点O作OE⊥AB于点E,∴CE=DE(垂径定理),又∵AC=BD,∴AE=BE,Rt△OAE≌Rt△OBE,∴OA=OB
例2已知,如图22－3－4,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6cm
EB=2cm
∠CEA=30°,求CD的长
思路分析:利用弦心距构造直角三角形,再解直角三角形,再结合垂径定理求出CD的长
解：过点O作OF⊥CD于点F,联结CO
∵AE=6,EB=2,∴AB=8,∴OA=OC==4,DE=AE－OA=6－4=2
又∵在Rt△OEF中,∠AEC=30°,∴OF==1
又∵在Rt△COF中,OC=4,OF=1,∴,又∵OF⊥CD,∴CF=DF,∴CD=2CF=(cm)
例3如图22－3－5,已知AB是⊙O的直径,E、F分别是AO、BO的中点,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E、F
求证：思路分析：要证可证它们所对的弦AC与BD相等,也可证它们所对的圆心角∠AOC与∠BOD相等
证法一：如图22－3－5,联结OC、OD
∵E、F分别是OA、OB的中点,∴,∵OA=OB,∴OE=OF
又∵OC=OD
CE⊥AB,DF⊥AB,∴Rt△CEO≌Rt△DFO(HL),∴∠AOC=∠BOD,∴证法二：如图22－3－6,联结AC、OC、OD、BD
