22.3圆的对称性名师导学典例分析例1如图22－3－3,已知AB交⊙O于C、D,且AC=BD,你认为OA=OB吗?为什么?思路分析:证明OA=OB,只需证点O在AB的中垂线上,或证明含有OA与含有OB的三角形全等,可以过点O作OE⊥AB于点E,得CE=ED.又因为AC=BD,可得AE=BE,于是点O在线段AB的中垂线上,得OA=OB或利用△OAE≌△OBE得OA=OB.证法一：如图,过点O作OE⊥AB于点E.∴CE=DE(垂径定理).又∵AC=BD,∴AE=BE,∴OE为AB的中垂线,∴OA=OB.证法二：过点O作OE⊥AB于点E,∴CE=DE(垂径定理),又∵AC=BD,∴AE=BE,Rt△OAE≌Rt△OBE,∴OA=OB.例2已知,如图22－3－4,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6cm.EB=2cm.∠CEA=30°,求CD的长.思路分析:利用弦心距构造直角三角形,再解直角三角形,再结合垂径定理求出CD的长.解：过点O作OF⊥CD于点F,联结CO.∵AE=6,EB=2,∴AB=8,∴OA=OC==4,DE=AE－OA=6－4=2.又∵在Rt△OEF中,∠AEC=30°,∴OF==1.又∵在Rt△COF中,OC=4,OF=1,∴,又∵OF⊥CD,∴CF=DF,∴CD=2CF=(cm).例3如图22－3－5,已知AB是⊙O的直径,E、F分别是AO、BO的中点,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E、F.求证：思路分析：要证可证它们所对的弦AC与BD相等,也可证它们所对的圆心角∠AOC与∠BOD相等.证法一：如图22－3－5,联结OC、OD.∵E、F分别是OA、OB的中点,∴,∵OA=OB,∴OE=OF.又∵OC=OD.CE⊥AB,DF⊥AB,∴Rt△CEO≌Rt△DFO(HL),∴∠AOC=∠BOD,∴证法二：如图22－3－6,联结AC、OC、OD、BD.∵CE垂直平分OA,∴AC=OC.同理：OD=BD.又∵OC=OD,∴AC=BD,∴突破易错☆挑战零失误规律总结善于总结★触类旁通1方法点拨：本题是对垂径定理的考查,如果题目中没有垂直于弦的直径,我们可以构造垂直,并且作垂直时,可以作直径,也可以作半径,或者是弦心距.这是圆中一种重要的作辅助线的作法.2方法点拨：在求解有关弦长、弦心距、半径等问题时,通常用垂径定理及其推论,构造直角三角形,利用勾股定理或三角函数的知识求解.3方法点拨：本题从不同方面给出证明弧相等的方法,在同圆或等圆中,等弦、等弦心距、等弧、等圆心角经常相互转化,证法一利用了证等圆心角,证法二利用了证等弦,另证利用了.证等弦心距.学习中同学们应注意转化的“思想”在解题中的应用及方法的筛选.另证：如图22－3－7,延长CE、DF,分别交⊙O于M、N.∵AO⊥CM,BO⊥DN,又∵,∴OE=OF,∴
