第二十四章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2直线和圆的位置关系(第4课时)学习目标1.理解切线长定义.2.掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题.3.掌握画三角形内切圆的方法、三角形内心的概念.学习过程设计一、设计问题,创设情境1.已知△ABC,作三个内角的角平分线,说说它们具有什么性质?2.直线和圆有什么位置关系?切线的判定定理和性质定理的内容是什么?3.过圆上一点可以作圆的几条切线?过圆外一点呢?圆内一点呢?二、信息交流,揭示规律1.如图,经过平面内一点,画出☉O的切线.切线长定义:.2.如图,点P为☉O外一点,PA,PB为☉O的切线,A,B为切点.连接OP,则线段PA与PB,∠APO与∠BPO分别有什么关系?由此我们得到切线长定理:.推理形式:3.如图是一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使截下的圆与三角形的三边都相切?归纳:与三角形各边叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形的交点,叫做三角形的.三、运用规律,解决问题【例1】如图,已知☉O是△ABC的内切圆,切点为D、E、F,如果AE=2,CD=1,BF=3,且△ABC的面积为6.求内切圆的半径r.【例2】如图,△ABC的内切圆☉O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9,BC=14,CA=13,求AF,BD,CE的长.四、变式训练,深化提高探究:PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,直线OP交☉O于点D,E,交AB于点C.(1)写出图中所有的垂直关系;(2)写出图中与∠OAC相等的角;(3)写出图中所有的全等三角形;(4)写出图中所有的等腰三角形.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.在黑板上作出△ABC的三条角平分线,其性质:①三条角平分线相交于一点;②交点到三条边的距离相等.2.直线和圆的位置关系同样有三种:直线l和☉O相交⇔dr.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.(3)二、信息交流,揭示规律1.经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段长,叫做这点到圆的切线长.2.PA=PB,∠APO=∠BPO.∵PA,PB分别切☉O于点A,B,∴PA=PB,∠APO=∠BPO.从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.3.方法:略归纳:都相切的圆三条角平分线内心三、运用规律,解决问题【例1】解:连接AO,BO,CO.∵☉O是△ABC的内切圆且D,E,F是切点,∴AF=AE=2,BD=BF=3,CE=CD=1,∴AB=5,BC=4,AC=3.又∵S△ABC=6,∴12(4+5+3)r=6,∴r=1.∴所求的内切圆的半径为1.【例2】解:设AF=x,则AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x,由CD+BD=BC可得(13-x)+(9-x)=14.解得x=4.因此AF=4,BD=5,CE=9.四、变式训练,深化提高探究:(1)OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP.(2)∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.(3)△AOP≌△BOP,△AOC≌△BOC,△ACP≌△BCP.(4)△ABP,△AOB.五、反思小结,观点提炼略
