第二章二次函数（2）一、知识梳理1．利用二次函数求最值的问题(1)利润最大化——体会利用二次函数求解最值的一般步骤．利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般步骤：①找出销售单价与利润之间的函数关系式(注明范围)；②求出该二次函数图象的顶点坐标；③由函数顶点坐标求得其最值，即求得“最大利润”．(2)产量最大化——体会利用二次函数求解最值的几种方式．产量最大化问题与最大利润问题类似，若问题中的函数类型是二次函数，可以利用求二次函数的顶点处的函数值来解决．也可以应用配方法求其顶点，利用函数图象也可以判断函数的最值．[注意]在求最值问题中，我们常用二次函数的表达式求顶点坐标来求最值；也可以运用“数形结合”的方法，结合函数图象来判断求解最值；还可以利用列表的方法估计最值．(3)与图形有关的最值问题直角三角形中矩形的最大面积：要求面积就需要知道矩形的两条边，因此，把这两条边分别用含x的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了．[警示]在利用二次函数解答涉及图形的最值问题时，要注意图形中自变量的取值范围及是否有实际意义，这是很多同学易犯错的地方．2．二次函数与一元二次方程的关系对于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c，只要令y等于某个具体的数y0，就可以将函数转化成一元二次方程，这个方程的解是抛物线上纵坐标为y0的点的横坐标．特殊地，如果令y值为0，所得方程为ax2＋bx＋c＝0，该方程的解是抛物线与x轴交点的横坐标．若方程无解，则说明抛物线与x轴无交点．二次函数的图象和x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，可以总结如下：设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，令y＝0，得：ax2＋bx＋c＝0.当b2－4ac＞0时，方程有两个不等实数根，二次函数的图象与x轴有个交点；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等实数根，二次函数的图象与x轴只有个交点(即顶点)；当b2－4ac＜0时，方程没有实数根，二次函数的图象与x轴没有交点．二、题型、技巧归纳类型一一元二次方程与二次函数的关系例1抛物线y＝kx2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是()A．k≥－B．k≥－且k≠0C．k>－D．k>－且k≠0[解析]类型二二次函数与图形面积例2如图X2－8，苗圃的形状是直角梯形ABCD，AB∥DC，BC⊥CD.其中AB，AD是已有的墙，∠BAD＝135°，另外两边BC与CD的长度之和为30米，如果梯形的高BC为变量x(米)，梯形面积为y(米2)，问：当x取何值时，梯形的面积最大？最大面积是多少？[解析]从题中已知梯形(除去一腰)的长和一个特殊角∠BAD＝135°，这里可利用梯形面积公式等相关知识构造出函数解析式．解：类型三二次函数与几何图形例3如图，在矩形ABCD中，AB＝m(m是大于0的常数)，BC＝8，E为线段BC上的动点(不与B，C重合)．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y.(1)求y关于x的函数关系式；(2)若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？(3)若y＝，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？[解析](1)设法证明y与x这两条线段所在的两个三角形相似，由比例式建立y关于x的函数关系式；(2)将m的值代入(1)中的函数关系式，配方化成顶点式后求最值；(3)逆向思考，当△DEF是等腰三角形，因为DE⊥EF，所以只能是EF＝ED，再由(1)可得Rt△BFE≌Rt△CED，从而求出m的值．解：在几何图形中建立函数关系式，体现了“数形结合”的数学思想，要注意运用“相似法”“面积法”与“勾股法”建立有关等式，从而转化为函数关系式．这也是中考试卷中的常见考点．类型四二次函数与生活应用例4利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理)．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元．设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元)．(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；(3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)小...
