第二十四章圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2直线和圆的位置关系(第2课时)学习目标1.掌握切线的判定定理的内容,并会运用它进行切线的证明.2.能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线.学习过程设计一、设计问题,创设情境1.圆的直径是15cm,如果直线与圆心的距离分别是(1)5.5cm,(2)7.5cm,(3)15cm,那么直线和圆的位置关系分别是(1),(2),(3);直线和圆的公共点的个数依次是,,.2.你有哪几种方法判断一条直线是圆的切线?二、信息交流,揭示规律1.切线的判定定理的得出:作图:在☉O中,经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,已知OA=r.那么,(1)圆心O到直线l的距离是;(2)直线l和☉O的位置关系是.归纳:切线的判定定理:经过并且的直线是圆的切线.请依据上图,用符号语言表达切线的判定定理:判断:(1)过半径的外端的直线是圆的切线.()(2)与半径垂直的直线是圆的切线.()(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线.()2.总结:到此为止学习的切线的判定方法共有:(1);(2);(3).三、运用规律,解决问题1.已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线?2.如图,直线AB经过☉O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求证:直线AB是☉O的切线.3.已知点O为∠BAC平分线上一点,OD⊥AB于点D,以O为圆心,OD为半径作☉O.求证:☉O与AC相切.课堂小结若证直线是圆的切线,1.当该直线过圆上一点时,则连接,再证;2.当没有指明该直线过圆上一点时,则过作,再证.四、变式训练,深化提高1.如图,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AC于点E,以O为圆心,OE为半径作☉O.求证:AB是☉O的切线.2.已知:△ABC内接于☉O,过点A作直线EF.(1)如图1,AB为直径,要使EF为☉O的切线,还需添加的条件是(只需写出两种情况):①;②.(2)如图2,AB是非直径的弦,∠CAE=∠B,求证:EF是☉O的切线.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.相交相切相离2102.(1)定义法:和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.(2)数量法(d=r):和圆心距离等于半径的直线是圆的切线.二、信息交流,揭示规律1.(1)r(2)相切半径的外端垂直于半径∵OA是半径,l⊥OA于点A∴l是☉O的切线.判断:(1)×(2)×(3)×2.总结:(1)定义法:和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线(2)数量法(d=r):和圆心距离等于半径的直线是圆的切线(3)判定定理:经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线三、运用规律,解决问题1.略2.证明:连接OC(图略).∵在△OAB中,OA=OB,CA=CB,∴AB⊥OC于C.∵OC是☉O的半径,∴AB是☉O的切线.3.证明:过O作OE⊥AC于点E(图略).∵AO平分∠BAC,OD⊥AB,∴∠DAO=∠CAO,∠ADO=∠AEO=90°,又∵AO=AO,∴△ADO≌△AEO,∴OE=OD,即圆心O到AC的距离d=r,∴AC是☉O的切线.课堂小结:1.这点和圆心直线垂直于经过这点的半径2.圆心直线的垂线段这条线段的长等于圆的半径四、变式训练,深化提高1.证明:过点O作OF⊥AB于点F∵AB=AC,AO⊥BC,∴AO平分∠BAC,又∵OE⊥AC,OF⊥AB,∴OE=OF,∴AB是☉O的切线.2.(1)AB⊥EF∠CAE=∠B(2)证明:过点O作直径AD,连接DC.∵AC⏜=AC⏜,∴∠D=∠B.∵AD是直径,∴∠ACD=90°,∴∠CAD+∠D=90°,即∠CAD+∠B=90°.又∵∠CAE=∠B,∴∠CAD+∠CAE=90°,∴OA⊥EF,∴EF是☉O的切线.五、反思小结,观点提炼略
