初三数学应用锐角三角函数的定义证几何题学法指导VIP免费

应用锐角三角函数的定义证几何题陈东秉锐角三角函数的定义，可以把一个直角三角形中边与角的关系联系起来，从而使许多几何问题有了纯粹几何证法所容纳不了的天地。请看下面几例。例1如图1，M为正方形ABCD中AB边的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N，求证：MD=MN。证明：设AM=BM=1，BF=x，则AD=2，MF=x+1,NF=BF=x。∵MN⊥DM，∠A=∠ABC，∴∠ADM=∠FMN。在Rt△ADM和Rt△FMN中，由锐角三角函数的定义可得，，。∴。解得x=1。即NF=1，MF=2。∴Rt△ADM≌Rt△FMN。∴DM=MN。例2如图2，E是正方形ABCD中边AB的中点，F在AD边上，且DF=3AF，求证：CE平分∠BCF。证明：连EF，设正方形ABCD的边长为4。则AE=BE=2，AF=1，DF=3。EF2=12+22=5。CE2=22+42=20，CF2=32+42=25。∵EF2+CE2=CF2，∴∠CEF=90°。在Rt△BCE与Rt△ECF中，由锐角三角函数的定义可得∴∠BCE=∠ECF。即CE平分∠BCF。例3如图3，P是等腰梯形ABCD底边BC上任意一点。PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，BG⊥CD于G。求证：PE+PF=BG。证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，∴∠PBE=∠C。由锐角三角函数的定义可得sin∠PBE=。即PE=PBsinC，PF=PCsinC，BG=BCsinC。PE+PF=(PB+PC)sinC=BCsinC=BG。例4如图4过正方形ABCD的顶点A任作一直线分别交BC于Q，DC的延长线于P，求证：。证明：设∠BAQ=∠P=2。则。∵，∴。例5在△ABC中，若AB、BC边上的高不小于其对应边，试判定△ABC的形状。解如图5，设AD、CE分别为△ABC中BC、AB边上的高，则AD=ABsinB，CE=BCsinB，AD+CE=(AB+BC)sinB。∵AD≥BC，CE≥AB，∴AD+CE≥AB+BC，即（AB+BC）sinB≥AB+BC，则可得sinB≥1。∵sinB≤1，∴sinB=1，∠B=90°，因此，△AB=BC，因此D、E两点与B重合，由题设知AB≥BC，BC≥AB，则AB=BC，因此，△ABC为等腰直角三角形。从以上数例可以看出，用此法证某些几何题可不添或少添辅助线，以计算代替逻辑推理从而减少证题中的困难。