初三数学解直角三角形（锐角三角函数）【本讲主要内容】解直角三角形（锐角三角函数）包括锐角三角函数：角的正弦、余弦、正切，解直角三角形等。【知识掌握】【知识点精析】1.在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。2.在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA。3.在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA。4.锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。5.特殊角的三角函数值：，；；6.在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形。7.解直角三角形的四种类型已知条件解法两条边两条直角边a和b一条直角边a和斜边c一条边和一个锐角一条直角边a和锐角A斜边c和锐角A依据：（1）；（2）；（3）；（4）。8.应用解直角三角形的知识解一些简单的实际问题。【解题方法指导】例1.选择题：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则tanA等于（）A.B.C.D.分析：设法求出∠A的度数，再求值。解：Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°把∠B＝2∠A代入，得3∠A＝90°∴∠A＝30°故选B。评析：抓住直角三角形中两锐角互余，求出角的度数。例2.（2002年四川）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，，设∠BCD＝α，那么cosα的值是（）A.B.C.D.分析：由∠ACB＝90°，CD⊥AB，可知∠BCD＝∠A＝α，而，故可解。解：在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD＝∠A＝α又故选D。评析：此题利用图中的等角关系，使cosα转化为cosA，从而使问题得到解决。此题还可以利用△BCD∽△BAC，得出。例3.（2005年山西）如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD//AB，则∠α的余弦值为_________。分析：关键是由∠C＝30°，∠COD＝90°，求出∠α的度数。由CD//AB，可知∠AOC＝∠C＝30°，而∠AOB＝180°，因此∠α的度数可求出，至此思路已通。解： CD//AB，∴∠AOC＝∠C＝30° ∠COD＝90°，∠AOB是一个平角，∴∠α＝180°―∠AOC―∠COD＝180°―30°―90°＝60°评析：此题用到了平行线的知识，平角的知识，以及特殊角的余弦值，要善于观察图形。例4.（2003年北京）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sinB的值为（）A.B.C.D.分析：由正切函数的定义可知，，而，关键是求出c，可设参数加以解决。解：由设故应选B。评析：此题是由tanA转化为sinB，要从定义出发，通过设参数加以解决，这种方法很重要，要牢记。例5.（2005年海南）如图，在△ABC中，∠A＝30°，，则AB＝_________。分析：由于AB不是直角三角形的一条边，因此要设法使∠A、∠B分别是直角三角形的一个锐角，再应用三角函数去求。解：作CD⊥AB于D（如图）在Rt△ACD中， ∠A＝30°，在Rt△BCD中，评析：此题是解斜三角形，要回归定义，使图中出现直角三角形。因此作CD⊥AB于D，分别解两个直角三角形即可。这种回归定义的思想很重要，要学会应用。【考点突破】【考点指要】解直角三角形的知识十分重要，在图形的计算以及解决实际问题中都有着广泛的应用，正因为如此，所以在中考试题中频频出现，但大多把有关三角函数及特殊角的三角函数值当作一个工具，用以解决其他问题，难度不是很大，应熟练加以掌握。对于解三角形的四种情况不要死记硬背，结合图形应用三角函数的定义去推导即可。【典型例题分析】例1.已知：如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝6，，CD＝12，求∠D的三个三角函数值。分析：由于∠BCD＝90°，CD＝12，欲求∠D的四个三角函数值，还需求出BC、BD的长，而BC又是Rt△ABC的一条边长，可由AB＝6，求得BC的长。解：在Rt△ABC中， ∠ABC＝90°，设BC＝4x，AC＝5x，则∴x＝2，x＝－2（舍去负值）∴BC＝4x＝4×2＝8，在评析：当给出后，一般利用设参数的方法去求出边长，而不要由，便得BC＝4，AC＝5。例2.（2002年天津）某片绿地的形状如图所示，其中∠A＝60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的长（精确到1m，）。分析：欲求AD、BC的长，若联结AC，则使60°的角受到破坏；若联结BD，将使直角受到破坏，能否既构造出直角三角形，又不使60°的角和直角受到破坏，可采取延长AD、BC，使它们交于E点，于是得到两个直角三...
