第90页共3页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第90页共3页§5.9激励为任意波形的响应与卷积积分5.9.1卷积积分首先，设两个相同函数f1(t)和f2(t)，且t<0时两函数的值均为零，则f1(t)与f2(t)的卷积通常用f1(t)∗f2(t)来表示，并由下列积分形式来定义：f1(t)∗f2(t)=∫0tf1(t−ξ)f2(ξ)dξ（5-65）1.交换律如果令τ=t−ξ，则dτ=−dξ，则有∫0tf1(t−ξ)f2(t)=−∫0tf1(t)f2(t−τ)dτ=∫0tf2(t−τ)f1(τ)dτ=f2(t)∗f1(t)即f1(t)∗f2(t)=f2(t)∗f1(t)（5-66）2.分配律f1(t)∗[f2(t)+f3(t)]=f1(t)∗f2(t)+f1(t)∗f3(t)（5-67）3.结合律[f1(t)∗f2(t)]∗f3(t)=f1(t)∗[f2(t)∗f3(t)]（5-68）4.卷积的微分d[f1(t)∗f2(t)]dt=f1(t)∗df2(t)dt=f2(t)∗df1(t)dt（5-69）卷积的积分∫−∞tf1(ξ)∗f2(ξ)dξ=f1(t)∗∫−∞tf2(ξ)dξ=f2(ξ)∗∫−∞tf1(ξ)dξ（5-70）df1(t)dt∗∫−∞tf2(ξ)dξ=f1(t)∗f2(t)（5-71）5.9.2任意输入的零状态响应如果电路的激励e(t)的波形如图5-52所示，定义的时间区间是（t0，t），ξ表示从t0到t之间的任意时刻。对于任意输入电路的激励作用，可以看成是一系列冲激强度不同的时间上依次延迟dt的冲激激励波的叠加。首先用一系列具有相同宽度的矩形脉冲来近似第91页共3页第90页共3页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第91页共3页表示e(ξ)。把时间区间(t0，t)分成相等的几段，每段宽度为△，即t1−t0=t2−t1=⋯=tk+1−tk=⋯=Δ。因此e(ξ)可以用图示中的阶梯曲线来近似表示，即可看成一系列的矩形脉冲的合成。这一系列的矩形脉冲可以通过单位脉冲函数和延迟的单位脉冲函数，即pΔ(ξ)和pΔ(ξ−tk)来表示。因此，可以用上述的矩形脉冲表示e(ξ)，即eΔ(ξ)=e(t0)pΔ(ξ−t0)Δ+e(t1)pΔ(ξ−t1)Δ+e(t2)pΔ(ξ−t2)Δ+...e(tk)pΔ(ξ−tk)Δ+...+e(tn−1)pΔ(ξ−tn−1)Δ=∑k=0n−1e(tk)pΔ(ξ−tk)Δ（5-78）图6-52e(ξ)的阶梯形近似描述放电在单位矩形脉冲pΔ(ξ)激励下的零状态响应为hΔ（ξ)，对每一延迟的矩形脉冲pΔ(ξ−tk),在时刻t观察到的相应的响应将为hΔ（t−tk），根据线性电路的齐次定理对e(tk)pΔ(ξ−tk)Δ的响应将是e(tk)h(t−tk)Δ。所以按叠加定理，式（5-78）的激励所产生的响应为rΔ(t)=∑k=0n−1eΔ(tk)hΔ(t−tk)Δ为了保证e(ξ)的阶梯矩形近似更接近真实e(ξ)，令t0到t区间内的脉冲数不断的增加。当t→∞时，Δ→0，每个单位矩形脉冲变成冲激函数，hΔ变成了冲激响应h，eΔ变成了原来的激励e(t)，响应rΔ(t)则变成电路对应原激励的零状态响应r(t)，同时上式的求和也变成了积分，tk变成了连续变量ξ，Δ则变成了dξ。于是有r(t)=∫t0te(tk)h(t−ξ)dξ第92页共3页第91页共3页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第92页共3页其中t0为任意激励施加的时刻，t为待求响应所对应的时刻。特别地，当t0=0时，有r(t)=∫0te(tk)h(t−ξ)dξ（5-79）或r(t)=∫0te(t−ξ)h(ξ)dξ（5-80）式（5-79）和式（5-80）所示的积分就是卷积的积分。因此只要知道电路的冲激响应，对于任意的激励函数e(t)的作用，都可根据卷积的积分求电路的零状态响应。
