同角三角函数的基本关系与诱导公式考点与提醒归纳一、基础知识1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝sinαcosα.平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋π2(k∈Z)．2．诱导公式一二三四五六2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋αsinα－sinα－sinαsinαcosαcos_αcosα－cosαcosα－cos_αsinα－sinαtanαtanα－tanα－tan_α诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·π2＋αk∈Z”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k·π2＋αk∈Z”中，将α看成锐角时，“k·π2＋αk∈Z”的终边所在的象限.二、常用结论同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(2)sinα＝tanαcosαα≠π2＋kπ，k∈Z.考点一三角函数的诱导公式[典例](1)已知f(α)＝cosπ2＋αsin3π2－αcos－π－αtanπ－α，则f－25π3的值为________．(2)已知cosπ6－α＝23，则sinα－2π3＝________.[解析](1)因为f(α)＝cosπ2＋αsin3π2－αcos－π－αtanπ－α＝－sinα－cosα－cosα－sinαcosα＝cosα，所以f－25π3＝cos－25π3＝cosπ3＝12.(2)sinα－2π3＝－sin2π3－α＝－sinπ－π3＋α＝－sinπ3＋α＝－sinπ2－π6－α＝－cosπ6－α＝－23.[答案](1)12(2)－23[题组训练]1.已知tanα＝12，且α∈π，3π2，则cosα－π2＝________.解析：法一：cosα－π2＝sinα，由α∈π，3π2知α为第三象限角，联立tanα＝sinαcosα＝12，sin2α＋cos2α＝1，解得5sin2α＝1，故sinα＝－55.法二：cosα－π2＝sinα，由α∈π，3π2知α为第三象限角，由tanα＝12，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sinα＝－55.答案：－552.sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°＝________.解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan45°＝34＋14＋1＝2.答案：23.已知tanπ6－α＝33，则tan5π6＋α＝________.解析：tan5π6＋α＝tanπ－π6＋α＝tanπ－π6－α＝－tanπ6－α＝－33.答案：－33考点二同角三角函数的基本关系及应用[典例](1)若tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2α＝()A.165B．－165C.85D．－85(2)已知sinαcosα＝38，且π4<α<π2，则cosα－sinα的值为()A.12B．±12C．－14D．－12[解析](1)sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2α＝sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2αsin2α＋cos2α＝tanα＋1tanα－1＋1tan2α＋1，将tanα＝2代入上式，则原式＝165.(2)因为sinαcosα＝38，所以(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－2sinαcosα＝1－2×38＝14，因为π4<α<π2，所以cosα
