训练目标(1)求数列通项的常用方法；(2)等差、等比数列知识的深化应用.训练题型(1)由数列的递推公式求数列的通项；(2)由数列的前n项和求通项.解题策略求数列通项的常用方法：(1)公式法；(2)累加法；(3)累乘法；(4)构造法.1．已知a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为的等比数列，则an＝________.2．已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝－2an＋3，则数列{an}的通项公式an＝________.4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________.5．设函数f(x)＝lnx，数列{an}(n∈N*)满足a1＝1且an＋1＝，则数列{an}的通项公式an＝________.6．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.7．(2015·广东揭阳一中上学期期中)已知数列{an}中，a1＝1，nan＋1＝2(a1＋a2＋…＋an)(n∈N*)，则数列{an}的通项为________．8．已知在正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×2n，则数列{an}的通项公式为an＝________.9．已知数列{an}满足a1＝－1，a2>a1，|an＋1－an|＝2n，若数列{a2n－1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{an}的通项公式为an＝________.10．已知数列{an}满足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*.(1)若{an}是递增数列，且a1,2a2,3a3成等差数列，求p的值；(2)若p＝，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．答案解析1.(1－)解析由题意得an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋＋＋…＋＝＝(1－)．2.解析由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＝2n＋1－1，n＝1时，a1＝S1＝3；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝3．(－2)n－1＋1解析由已知可得an＋1－1＝－2(an－1)，所以数列{an－1}是等比数列，首项为1，公比为－2，故an－1＝(－2)n－1，即an＝(－2)n－1＋1.4．2解析由题意得＝2n，所以＝2，＝22，＝23，…，＝2n－1，累乘得an＝a1···…·＝2.5.解析由题意得f′(x)＝，从而an＋1＝＝，所以＝＋1，所以数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，故＝1＋n－1＝n，所以an＝.6.解析由已知得an＝1－，a8＝2，所以a7＝1－＝，a6＝1－＝－1，a5＝1－＝2，a4＝1－＝，a3＝1－＝－1，a2＝1－＝2，a1＝1－＝.7．an＝n(n∈N*)解析∵nan＋1＝2(a1＋a2＋…＋an)，①∴当n≥2时，(n－1)an＝2(a1＋a2＋…＋an－1)，②①－②得nan＋1－(n－1)an＝2an，即nan＋1＝(n＋1)an，∴＝，∴an＝a1··…·＝1··…·＝n.当n＝1时，结论也成立．∴an＝n.8．(3n－1)×2n－1解析在an＋1＝2an＋3×2n的两边同时除以2n＋1，得＝＋，即－＝，所以数列{}是以＝1为首项、为公差的等差数列，由等差数列的通项公式得＝1＋(n－1)×＝n－，所以an＝(n－)×2n＝(3n－1)×2n－1.9.解析由题意得a1＝－1，a2＝1，a3＝－3，a4＝5，a5＝－11，a6＝21，……，然后从数字的变化上找规律，得an＋1－an＝(－1)n＋12n，则利用累加法即得an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝－1＋2－22＋…＋(－1)n2n－1＝＝.10．解(1)因为{an}是递增数列，所以an＋1－an＝|an＋1－an|＝pn.而a1＝1，因此a2＝p＋1，a3＝p2＋p＋1.又a1,2a2,3a3成等差数列，所以4a2＝a1＋3a3，因而3p2－p＝0，解得p＝或p＝0.当p＝0时，an＋1＝an，这与{an}是递增数列矛盾，故p＝.(2)由于{a2n－1}是递增数列，因而a2n＋1－a2n－1>0，于是(a2n＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)>0.①因为<，所以|a2n＋1－a2n|<|a2n－a2n－1|.②由①②知，a2n－a2n－1>0，因此a2n－a2n－1＝()2n－1＝.③因为{a2n}是递减数列，同理可得，a2n＋1－a2n<0，故a2n＋1－a2n＝－()2n＝.④由③④可知，an＋1－an＝.于是an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋－＋…＋＝1＋·＝＋·.故数列{an}的通项公式为an＝＋·.
