训练目标(1)数列知识的综合应用；(2)中档大题的规范练.训练题型(1)等差数列、等比数列的综合；(2)一般数列的通项与求和；(3)数列与其他知识的综合应用.解题策略(1)用方程(组)思想可解决等差、等比数列的综合问题；(2)一般数列的解法思想是转化为等差或等比数列；(3)数列和其他知识的综合主要是从条件中寻找数列的通项公式或递推公式.1．已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和．2．设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．(1)证明：数列{bn}为等比数列；(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列{anb}的前n项和Sn.3．(2015·衡水下学期联考)已知等差数列{an}的各项互不相等，其前两项的和为10，且a3是a1与a7的等比中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，其前n项和是Tn，求证：Tn<.4．(2015·淄博一模)在数列{an}中，a1＝，其前n项和为Sn，且Sn＝an＋1－(n∈N*)．(1)求an，Sn；(2)设bn＝log2(2Sn＋1)－2，数列{cn}满足cn·bn＋3·bn＋4＝1＋(n＋1)(n＋2)·2bn，数列{cn}的前n项和为Tn，求使4Tn>2n＋1－成立的最小正整数n的值．5．已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝.(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式；(2)设an＝n·f(n)，n∈N*，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an<2；(3)设bn＝(9－n)，n∈N*，Sn为{bn}的前n项和，当Sn最大时，求n的值．答案解析1.解(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d＝＝＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)．设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得，q3＝＝＝8，解得q＝2.所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1，从而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．(2)由(1)知，bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)，数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1×＝2n－1，所以数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.2.(1)证明由已知，bn＝2an>0.当n≥1时，＝2an＋1－an＝2d.∴数列{bn}是首项为2a1，公比为2d的等比数列．(2)解将函数f(x)＝2x求导，得f′(x)＝2xln2，∴f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－b2＝2a2ln2(x－a2)，令y＝0，得－b2＝2a2ln2(x－a2)，x＝a2－＝2－，∴a2＝2.∴d＝2－1＝1，∴an＝n，bn＝2n.∴anb＝n·4n，其前n项和Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)·4n－1＋n·4n，①4Sn＝1×42＋2×43＋3×44＋…＋(n－1)·4n＋n·4n＋1，②①－②，得－3Sn＝4＋42＋43＋…＋4n－n·4n＋1＝－n·4n＋1＝.∴Sn＝.3．(1)解设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由已知，得即解得∴an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2.(2)证明bn＝＝＝，其前n项和Tn＝＋＋…＋，Tn＝＋＋…＋＋，∴Tn－Tn＝＋＋＋…＋－＝＋－＝－，∴Tn＝－<.4.解(1)由Sn＝an＋1－，得Sn－1＝an－(n≥2)，两式作差得an＝an＋1－an，即2an＝an＋1(n≥2)，∴＝2(n≥2)，又a1＝S1＝a2－，得a2＝1，∴＝2，∴数列{an}是首项为，公比为2的等比数列．则an＝·2n－1＝2n－2，Sn＝an＋1－＝2n－1－.(2)bn＝log2(2Sn＋1)－2＝log22n－2＝n－2，∴cn·bn＋3·bn＋4＝1＋(n＋1)(n＋2)·2bn，即cn(n＋1)(n＋2)＝1＋(n＋1)(n＋2)·2n－2，∵cn＝＋2n－2＝－＋2n－2，∴Tn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(2－1＋20＋…＋2n－2)＝－＋＝－－＋2n－1＝2n－1－.由4Tn>2n＋1－，得4(2n－1－)>2n＋1－.即<，n>2014.∴使4Tn>2n＋1－成立的最小正整数n的值为2015.5.(1)解令x＝n，y＝1，得f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝f(n)，∴{f(n)}是首项为，公比为的等比数列，∴f(n)＝()n.(2)证明设Tn为{an}的前n项和，∵an＝n·f(n)＝n·()n，∴Tn＝＋2×()2＋3×()3＋…＋n×()n，Tn＝()2＋2×()3＋3×()4＋…＋(n－1)×()n＋n×()n＋1，两式相减得Tn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n×()n＋1，∴Tn＝2－()n－1－n×()n<2.(3)解∵f(n)＝()n，∴bn＝(9－n)＝(9－n)＝.∴当n≤8时，bn>0；当n＝9时，bn＝0；当n>9时，bn<0.∴当n＝8或9时，Sn取得最大值．
