第八章立体几何与空间向量8.5空间向量及其运算教师用书理苏教版1.空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ使b＝λa.(2)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4.空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线b＝λa(a≠0，λ∈R)b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝【知识拓展】1.向量三点共线定理：在平面中A、B、C三点共线的充要条件是：OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.2.向量四点共面定理：在空间中P、A、B、C四点共面的充要条件是：OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面.(√)(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c).(×)(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(×)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.(×)(5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0.(√)1.已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为________.答案a2解析如图，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.AE＝(a＋b)，AF＝c，∴AE·AF＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2.2.(2016·苏州模拟)向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是________.①a∥b，a∥c;②a∥b，a⊥c；③a∥c，a⊥b.答案③解析因为c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a，所以a∥c.又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a⊥b.3.(教材改编)已知a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为________.答案1或－3解析依题意得解得或∴x＋y＝1或x＋y＝－3.4.如图，在四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________.(用a，b，c表示)答案a＋b＋c解析OE＝OA＋OD＝OA＋OB＋OC＝a＋b＋c.5.(教材改编)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________.答案解析 |EF|2＝EF2＝(EC＋CD＋DF)2＝EC2＋CD2＋DF2＋2(EC·CD＋EC·DF＋CD·DF)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，∴|EF|＝，∴EF的长为.题型一空间向量的线性运算例1(1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点.用AB，AD，AA1表示OC1，则OC1＝________________.答案AB＋AD＋AA1解析OC＝AC＝(AB＋AD)，∴OC1＝OC＋CC1＝(AB＋AD)＋AA1＝AB＋AD＋AA1.(2)三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA，OB，OC表示MG，OG.解MG＝MA＋AG＝OA＋AN＝OA＋(ON－OA)＝OA＋[(OB＋OC)－OA]＝－OA＋OB＋OC.OG＝OM＋MG＝OA－OA＋OB＋OC＝OA＋OB＋OC.思维升华用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以...
