要点导学各个击破综合法若正数a,b,c满足a2+2ab+4bc+2ca=16,求证:a+b+c≥4.[思维引导]从平方关系入手,然后再把条件中的数值代入化简.[证明]因为a2+2ab+4bc+2ca=16,所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=b2+c2-2bc+16=(b-c)2+16≥16,当且仅当b=c时等号成立.又a,b,c均为正数,所以a+b+c≥4.[精要点评]利用综合法证明的前提是结合分析法进行探求解题思路.但是,一定要注意表达条理清晰.(2014·西安模拟)若cosxcosy+sinx·siny=12,sin2x+sin2y=23,求证:sin(x+y)=23.[证明]因为cosxcosy+sinxsiny=12,所以cos(x-y)=12.因为sin2x+sin2y=23,所以2sin(x+y)cos(x-y)=23,所以2sin(x+y)·12=23,所以sin(x+y)=23.分析法已知△ABC的三边长a,b,c的倒数成等差数列,求证:B<90°.[证明]因为cosB=222-2acbac,故要证明B<90°,即证cosB>0,只需证a2+c2>b2.又三边长a,b,c的倒数成等差数列,即2b=1a+1cb=2acac,只需证a2+c2>22acac,即(a2+c2)(a+c)2>(2ac)2.又a2+c2>2ac,只需证(a+c)2>2ac,即证a2+c2>0.而上式显然成立,所以B<90°.[精要点评]分析法是数学中常用到的一种直接证明方法,就证明过程来讲,它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法.具体地说,即先假设所要证明的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题或是要证命题的已知条件时,则所证命题得证.已知a>0,求证:221aa-2≥a+1a-2.[证明]要证221aa-2≥a+1a-2,只要证221aa+2≥a+1a+2,因为a>0,故只要证22212aa≥212aa,即证a2+21a+4221aa+4≥a2+2+21a+212aa+2,从而只要证2221aa≥12aa,只要证4221aa≥22212aa,即证a2+21a≥2,而该不等式显然成立,故原不等式成立.反证法(2014·北京顺义区模拟)求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数.[证明]假设这个数是奇数,可以设为2k+1,k∈Z,则有(2k+1)2=4k2+4k+1,而4k2+4k+1(k∈Z)不是偶数,这与原命题的条件矛盾.故原命题成立.(2014·江苏模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.[解答](1)当n=1时,a1+S1=2a1=2,则a1=1.又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,两式相减得an+1=12an,所以{an}是首项为1、公比为12的等比数列,所以an=-112n.(2)假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为ap+1,aq+1,ar+1(p2(6-7)3.设a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2.[证明]3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b).因为a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>0.从而(3a2-2b2)(a-b)≥0,即3a3+2b3≥3a2b+2ab2.4.(2014·北京顺义区模拟)设{an}是公比为q的等比数列,Sn为它的前n项和,求证:数列{Sn}不是等比数列.[证明]假设{Sn}是等比数列,则22S=S1S3,即21a(1+q)2=a1·a1(1+q+q2).因为a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2.即q=0,与等比数列中公比q≠0矛盾.故{Sn}不是等比数列.[温馨提醒]趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第87-88页).
