解答题分层综合练(五)压轴解答题抢分练(2)(建议用时：40分钟)1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝1－an(n∈N*)．各项均为正数的数列{bn}中，对于一切n∈N*，有＝，且b1＝1，b2＝2，b3＝3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设数列{anbn}的前n项和为Tn，求证：Tn<2.2．(2019·南京模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，S6＝22.(1)求Sn；(2)若从{an}中抽取一个公比为q的等比数列{akn}，其中k1＝1，且k1kn＋1有解，试求q的值．3．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2在区间(t，3)上总不是单调函数，求m的取值范围；(3)若x1，x2∈[1，＋∞)，试比较ln(x1x2)与x1＋x2－2的大小．4．(2019·扬州模拟)已知函数f(x)＝x2－ax3，函数g(x)＝f(x)＋2ex(x－1)，函数g(x)的导函数为g′(x)．(1)当函数y＝f(x)在区间(1，＋∞)上为减函数时，求a的范围；(2)若a＝e(e为自然对数的底数)．①求函数g(x)的单调区间；②证明：g′(x)≥1＋lnx.解答题分层综合练(五)1．解：(1)因为Sn＝1－an，所以当n＝1时，a1＝S1＝1－a1，解得a1＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(1－an)－(1－an－1)，得2an＝an－1，即＝.所以数列{an}是首项为，公比为的等比数列，所以an＝×()n－1＝(n∈N*)．因为对于一切n∈N*，有＝，①当n≥2时，有＝，②①－②得，＝－，化简得，(n－1)bn＋1－nbn＋b1＝0，③用n＋1替换③式中的n得，nbn＋2－(n＋1)·bn＋1＋b1＝0，④③－④整理得，bn＋2－bn＋1＝bn＋1－bn，所以当n≥2时，数列{bn}为等差数列．又b3－b2＝b2－b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，所以bn＝1＋(n－1)＝n.(2)证明：因为数列{anbn}的前n项和为Tn，所以Tn＝＋＋＋…＋，⑤所以Tn＝＋＋…＋，⑥⑤－⑥得，Tn＝＋＋…＋－＝－＝1－.所以Tn＝2－<2.2．解：(1)设等差数列的公差为d，则S6＝6a1＋×6×5d＝22，解得d＝，所以Sn＝.(2)因为数列{an}是正项递增等差数列，所以数列{akn}的公比q>1，①若k2＝2，则由a2＝，得q＝＝，此时ak3＝2×＝，由＝(k3＋2)，解得k3＝∉N*，所以k2>2，同理k2>3;若k2＝4，则由a4＝4，得q＝2，此时akn＝2·2n－1，另一方面，akn＝(kn＋2)，所以(kn＋2)＝2n，即kn＝3×2n－1－2，所以对任何正整数n，akn是数列{an}的第3×2n－1－2项．所以最小的公比q＝2.所以kn＝3×2n－1－2.②由akn＝＝2qn－1，得kn＝3qn－1－2，而q>1，所以当q>1且q∈N*时，所有的kn＝3qn－1－2均为正整数，适合题意；当q>1且q∉N*时，kn＝3qn－1－2∈N*不全是正整数，不合题意．而6Sn>kn＋1有解，所以>1有解，经检验，当q＝2，q＝3，q＝4时，n＝1都是>1的解，适合题意；下证当q≥5时，>1无解，设bn＝，则bn＋1－bn＝，因为<0，所以f(n)＝2[(1－q)n2＋(7－5q)n＋7－q]在n∈N*上递减，又因为f(1)<0，所以f(n)<0恒成立，所以bn＋1－bn<0，所以bn≤b1恒成立，又因为当q≥5时，b1<1，所以当q≥5时，6Sn>kn＋1无解．综上所述，q的取值为2，3，4.3．解：(1)当a＝－1时，f′(x)＝(x>0)．由f′(x)>0得x>1；由f′(x)<0得00)，所以f′(2)＝－＝1，得a＝－2.所以f′(x)＝(x>0)，g(x)＝x3＋x2－2x，所以g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.因为g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，且g′(0)＝－2<0，所以，由题意知，对于任意的t∈[1，2]，g′(t)<0恒成立，所以，所以－
