（江苏专用）高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其概率分布 12.6 离散型随机变量的均值与方差 理-人教版高三数学试题VIP免费

1．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称V(X)＝σ2＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn＝∑xpi－μ2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根σ＝为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)V(aX＋b)＝a2V(X)．(a，b为常数)3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝__p__，V(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝__np__，V(X)＝np(1－p)．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．(√)(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(√)(3)若随机变量X的取值中的某个值对应的概率增大时，期望值也增大．(×)(4)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．(×)1．(教材改编)某射手射击所得环数ξ的概率分布如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为________．答案0.4解析由可得y＝0.4.2．(2014·陕西改编)设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为__________．答案1＋a,4解析＝1，yi＝xi＋a，所以y1，y2，…，y10的均值为1＋a，方差不变仍为4.3．设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝(k＝2,4,6,8,10)，则V(X)＝________.答案8解析 E(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，∴V(X)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.4．(2014·浙江改编)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则V(ξ)＝________.答案解析设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则解得所以V(ξ)＝＋×0＋×1＝.5．(教材改编)抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．答案解析抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为×＝，所以至少有一次出现5点或6点的概率为1－＝，用X表示10次试验中成功的次数，则X～B(10，)，E(X)＝10×＝.题型一离散型随机变量的均值、方差命题点1求离散型随机变量的均值、方差例1(2015·福建)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的概率分布和均值．解(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P(A)＝××＝.(2)依题意得，X所有可能的取值是1,2,3.又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.所以X的概率分布为X123P所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.命题点2已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值例2设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的概率分布；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝，V(η)＝，求a∶b∶c.解(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6.故P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝6)＝＝.所以ξ的概率分布为ξ23456P(2)由题意知η的概率分布为η123P所以E(η)＝＋＋＝，V(η)＝2·＋2·＋2·＝.化简得解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.命题点3与二项分布有关的均值与方差例3某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，...