答案及试题说明1.解析:f′(x)=(lnx2+1)′=··=.∴f′(2)=.答案:B2.解析:y′=sin(lnx)+cos(lnx)+x·［cos(lnx)-sin(lnx)］=2cos(lnx).答案:B3.解析:y′=3x2+1,又4x-y=1的斜率为4,设曲线y=x3+x-2的切线中与4x-y=1平行的切线的切点为M(x0,y0),则3x02+1=4,∴x0=1或x0=-1.∴切点为M(1,0)、N(-1,-4)均不在4x-y=1上.∴有两条直线与4x-y=1平行.答案:D4.解析:f′(x)=3×2x(x2-1)2,令f′(x)=0,得x=0或x=±1,但x=1或x=-1时,两侧的导数值的符号同号,不是极值点.答案:D5.解析:y′=16x-.当x∈(0,)时y′<0,y=8x2-lnx为减函数;当x∈(,1)时y′>0,y=8x2-lnx为增函数.答案:C6.解析:f′(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)-x［(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)］′,∴f′(0)=-1×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)=-5!.答案:B7.解析:应用导数的几何意义易判断函数的增减性,然后根据极值判断实根的个数.设f(x)=x3-6x2+9x-10f′(x)=3x2-12x+9f′(x)=0得x1=1或x=3.①x≤1时,f(x)单调递增,最大值为-6.②当13时,f(x)单调递增,最小值为-10.由上分析知y=f(x)的图象如图,与x轴只有一个公共点,所以只有一个实根.故选C.答案:C′(x)=3x2-3,令f′(x)=0得x=±1.当0≤x<1时,f′(x)<0;当1≤x≤3时,f′(x)>0,则f(1)最小.又f(0)=-a,f(3)=18-a,则f(3)>f(0),则最大值为f(3),即M=f(3),N=f(1)M-N=f(3)-f(1)=(18-a)-(-2-a)=20,故选D.答案:D9.解析:f′(x)=2x+2f′(1),令x=1得f′(1)=2+2f′(1),∴f′(1)=-2.令x=0得f′(0)=2f′(1),∴f′(0)=-4.答案:B10.解析:f′(x)=-e-x·+·e-x=e-x(-+)=e-x·.令f′(x)=0,得x=.当x>时,f′(x)<0；当x<时,f′(x)>0.∴x=时取极大值,f()=·=.答案:B11.解析:由y=f′(x)的图象可得. 当x<0时,f′(x)>0,∴y=f(x)在(-∞,0)上单调递增. 当02时,f′(x)>0,∴y=f(x)在(2,+∞)上单调递增.答案:C12.解析:f′(x)=3x2+2ax+a+6.要使f(x)有极大值和极小值,需f′(x)=0有两个不相等的实根.∴Δ=4a2-12(a+6)>0.∴a>6或a<-3.答案:D13.解析:令x-a=h,则原式==2+=2f′(a)+f′(a)=3.答案:314.解析:设梯形的上底长为2x,高为h,面积为S,因为h=,所以S=·=(r+x),S′=-=,令S′=0得x=,h=r,当00;当0；当02时,f′(x)>0.∴x=0时取极大值,x=2时取极小值.∴f(0)-f(2)=c-8+12-c=4.18.证明:设f(x)=ln(1+x)-x+,其定义域为(-∞,+∞).f′(x)=-1+x=>0.所以f(x)在(-1,+∞)上是增函数.由增函数定义知,当x>0时,f(x)>f(0)=0,即x>0时,ln(1+x)>x-.19.解:设容器高为xcm,容器的容积为V(x)cm3,则V(x)=x(90-2x)(48-2x)=4x3-276x2+4320x(0＜x＜24).求V(x)的导数,得V′(x)=12x2-552x+4320=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36),令V′(x)=0,得x1=10,x2=36(舍去).当0＜x＜10时,V′(x)＞0,那么V(x)为增函数;当10＜x＜24时,V′(x)＜0,那么V(x)为减函数.因此,在定义域(0,24)内,函数V(x)只有当x=10时取得最大值,其最大值为V(10)=10×(90-20)×(48-20)=19600(cm3).答:当容器的高为10cm时,容器的容积最大,最大容积为19600cm3.20.解:(1)f′(x)=3x2-x+b，f(x)的图象上有与x轴平行的切线，则f′(x)=0有实数解，即方程3x2-x+b=0有实数解，由Δ=1-12b≥0，得b≤.(2)由题意，x=1是方程3x2-x+b=0的一个根，设另一根为x0，则∴∴f(x)=x3-x2-2x+c,f′(x)=3x2-x-2.当x∈(-1,-)时，f′(x)>0；x∈(-,1)时，f′(x)<0；x∈(1,2)时，f′(x)>0.∴当x=-时，f(x)有极大值+c.又f(-1)=+c,f(2)=2+c,即当x∈［-1,2］时，f(x)的最大值为f(2)=2+c. 对x∈［-1,2］时,f(x)2+c.解得c<-1或c>2.故c的取值范围...
