基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.设a是非零向量，λ是非零实数，给出下列结论：①a与λa的方向相反；②a与λ2a的方向相同；③|－λa|≥|a|；④|－λa|≥|λ|·a.其中正确的是________(填序号).解析对于①，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，②正确；对于③，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于④，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小.答案②2.在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a，b表示).解析由AN＝3NC，得4AN＝3AC＝3(a＋b)，AM＝a＋b，所以MN＝(a＋b)－＝－a＋b.答案－a＋b3.(2015·全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.解析 向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得解得λ＝μ＝.答案4.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是________(填序号).①a＝－b；②a∥b；③a＝2b；④a∥b且|a|＝|b|.解析表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有＝，观察选项易知③满足题意.答案③5.(2016·温州八校检测)设a，b不共线，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________.解析 BC＝a＋b，CD＝a－2b，∴BD＝BC＋CD＝2a－b.又 A，B，D三点共线，∴AB，BD共线.设AB＝λBD，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.答案－16.向量e1，e2不共线，AB＝3(e1＋e2)，CB＝e2－e1，CD＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________.解析由AC＝AB－CB＝4e1＋2e2＝2CD，且AB与CB不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上.答案④7.(2015·北京卷)在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝________；y＝________.解析由题中条件得，MN＝MC＋CN＝AC＋CB＝AC＋(AB－AC)＝AB－AC＝xAB＋yAC，所以x＝，y＝－.答案－8.(2016·苏北四市调研)已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝________.解析由已知条件得MB＋MC＝－MA，如图，因此延长AM交BC于D点，则D为BC的中点.延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E、F分别为AC、AB的中点，即M为△ABC的重心，∴AM＝AD＝(AB＋AC)，即AB＋AC＝3AM，则m＝3.答案3二、解答题9.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？解 d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，即得λ＝－2μ.故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线.10.如图，四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M，N分别是DC，AB的中点，已知AB＝a，AD＝b，DC＝c，试用a，b，c表示BC，MN，DN＋CN.解BC＝BA＋AD＋DC＝－a＋b＋c.因为MN＝MD＋DA＋AN，MN＝MC＋CB＋BN，所以2MN＝MD＋MC＋DA＋CB＋AN＋BN＝－AD－BC＝－b－(－a＋b＋c)＝a－2b－c.所以MN＝a－b－c.DN＋CN＝DM＋MN＋CM＋MN＝2MN＝a－2b－c.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP＝2OA＋BA，给出以下说法：①点P在线段AB上；②点P在线段AB的反向延长线上；③点P在线段AB的延长线上；④点P不在直线AB上.其中说法正确的是________(填序号).解析因为2OP＝2OA＋BA，所以2AP＝BA，所以点P在线段AB的反向延长线上，故②正确.答案②12.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP＝OA＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的________(填“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”).解析作∠BAC的平分线AD. OP＝OA＋λ，∴AP＝λ＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，∴AP＝·AD，∴AP∥AD.∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.答案内心13.若点O是△ABC所在平面内的一点...
