基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.解析因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝＝2，又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2××＝10.答案102.在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|2，则△ABC的形状一定是________三角形(填“等边”、“等腰”、“直角”、“等腰直角”).解析由(BC＋BA)·AC＝|AC|2，得AC·(BC＋BA－AC)＝0，即AC·(BC＋BA＋CA)＝0，2AC·BA＝0，∴AC⊥BA，∴A＝90°.又根据已知条件不能得到|AB|＝|AC|，故△ABC一定是直角三角形.答案直角3.(2016·深圳调研)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，则AB·AC＝________.解析由余弦定理得cosA＝＝＝－，所以AB·AC＝|AB|·|AC|cosA＝2×2×＝－2.答案－24.已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________.解析由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cosθ＝0，∴cosθ＝－，又 0≤θ≤π，∴θ＝.答案5.(2015·杭州质量检测)设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心).若AO＝AB＋AC，则∠BAC等于________(用角度表示).解析取BC的中点D，连接AD，则AB＋AC＝2AD.由题意得3AO＝2AD，∴AD为BC的中线且O为重心.又O为外心，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC＝60°.答案60°6.(2016·广州综合测试)在△ABC中，若AB·AC＝AB·CB＝2，则边AB的长等于________.解析由题意知AB·AC＋AB·CB＝4，即AB·(AC＋CB)＝4，即AB·AB＝4，∴|AB|＝2.答案27.(2016·天津十二区县重点中学联考)在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则EC·EM的最大值为________.解析以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则C(1，1)，M，设E(x，0)，x∈[0，1]，则EC·EM＝(1－x，1)·＝(1－x)2＋，x∈[0，1]时，(1－x)2＋单调递减，当x＝0时，EC·EM取得最大值.答案8.(2015·苏北四市模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为________.解析由题意可得a·b＝cosθ－sinθ＝2cos，则|2a－b|＝＝＝∈[0，4]，所以|2a－b|的最大值与最小值的和为4.答案4二、解答题9.(2015·陕西卷)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cosA，sinB)平行.(1)求A；(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积.解(1)因为m∥n，所以asinB－bcosA＝0，由正弦定理，得sinAsinB－sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝，由于0＜A＜π，所以A＝.(2)法一由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c＞0，所以c＝3，故△ABC的面积为S＝bcsinA＝.法二由正弦定理，得＝，从而sinB＝，又由a＞b，知A＞B，所以cosB＝，故sinC＝sin(A＋B)＝sin＝sinBcos＋cosBsin＝.所以△ABC的面积为S＝absinC＝.10.(2016·南通调研)已知向量m＝，n＝.(1)若m·n＝1，求cos的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围.解m·n＝sincos＋cos2＝sin＋×cos＋＝sin＋.(1) m·n＝1，∴sin＝，cos＝1－2sin2＝，cos＝－cos＝－.(2) (2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC，∴2sinAcosB＝sin(B＋C). A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，∴cosB＝，B＝.∴0＜A＜.∴＜＋＜，＜sin＜1.又 f(x)＝m·n＝sin＋，∴f(A)＝sin＋，故1＜f(A)＜.故函数f(A)的取值范围是能力提升题组(建议用时：25分钟)11.(2015·衡水中学一调)已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是________.解析设a与b的夹角为θ. f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx.∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b. 函数f(x)在R上有极值，∴方程x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数根，即Δ＝|a|2－4a·b＞0，∴a·b＜，又 |a|＝2|b|≠0，∴cosθ＝＜＝，即cosθ＜，又 θ∈[0，π]，∴θ∈.答案12.△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足AO＝(AB＋AC)，|AO|＝|AC|，则向量BA在BC方向上的投影等于__...
