一元一次不等式和它的解法例1判断下列各式是不是一元一次不等式？分析：判断一个式子是不是一元一次不等式，看这个式子是不是只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的不等式．解：(1)是一元一次不等式；(3)是一元一次不等式；(2)和(4)不是一元一次不等式．例2分析：两题都可以按通常的三步骤解．对于(1)题也可以根据两边都有分母为4的项的特点，可以先移项，合并分子的同类项后，再去分母．对于(2)也是可以先去中括号，得到5(x-3)＞5后，再两边除以5，得到x-3＞1．答案：说明：去分母时分数线相当于括号，同时不要漏乘不含分母的项．最关键要处理好乘或除一个数时不等号的方向问题．例3分析：不等式中含有分母，应先根据不等式的同解原理2去掉分母，再作其他变形，在去分母时，不要漏乘没有分母的“项”．解：去分母，得24-2(x-1)≥16+3(x+1)去括号，得24-2x+2≥16+3x+3移项，得-2x-3x≥16+3-24-2合并同类项，得-5x≥-7把系数化为1，得这个不等式的解集在数轴上的表示如下图所示：例4解答题(2)求不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解．分析：对(1)小题中要明白“不小于”即“大于或等于”，用符号表示即为“≥”；(2)小题非负整数，即指正数或零中的整数，所以此题的不等式的解必须是正整数或零．在求解过程中注意正确运用不等式性质．解：∴120-8x≥84-3(4x+1)(2) 10(x+4)+x≤84∴10x+40+x≤84∴11x≤44∴x≤4因为不大于4的非负整数有0，1，2，3，4五个，所以不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解是4，3，2，1，0．例5解关于x的不等式(1)ax+2≤bx-1(2)m(m-x)＞n(n-x)分析：解字母系数的不等式与解数字系数不等式的方法、步骤都是类似的，只是在求解过程中常要对字母系数进行讨论，这就增加了题目的难度．此类问题主要考察了对问题的分析、分类的能力：它不但要知道什么时候该进行分类讨论，而且还要求能准确地分出类别来进行讨论(结合例题解法再给与说明)．解：(1) ax+2≤bx-1∴ax-bx≤-1-2即(a-b)x≤-3此时要依x字母系数的不同取值，分别求出不等式的解的形式．即(n-m)x＞n2-m2当m＞n时，n-m＜0，∴x＜n+m；当m＜n时，n-m＞0，∴x＞n+m；当m=n时，n-m=0，n2=m2，n2-m2=0，原不等式无解．这是因为此时无论x取任何值时，不等式两边的值都为零，只能是相等的，所以不等式不成立．例6解关于x的不等式3(a+1)x+3a≥2ax+3．分析：由于x是未知数，所以把a看作已知数，又由于a可以是任意有理数，所以在应用同解原理时，要区别情况，分别处理．解：去括号，得3ax+3x+3a≥2ax+3移项，得3ax+3x-2ax≥3-3a合并同类项，得(a+3)x≥3-3a(3)当a+3=0，即a=-3，得0·x≥12这个不等式无解．说明：在处理字母系数的不等式时，首先要弄清哪一个字母是未知数，而把其它字母看作已知数，在运用同解原理把未知数的系数化为1时，应作合理的分类，逐一讨论．例7m为何值时，关于x的方程3(2x-3m)-2(x+4m)＝4(5-x)的解是非正数．分析：根据题意，应先把m当作已知数解方程，然后根据解的条件列出关于m的不等式，再解这个不等式求出m的值或范围．注意：“非正数”是小于或等于零的数．解：由已知方程有6x-9m-2x-8m=20-4x可解得8x=20+17m已知方程的解是非正数，所以例8若关于x的方程5x-(4k-1)=7x+4k-3的解是：(1)非负数，(2)负数，试确定k的取值范围．分析：要确定k的范围，应将k作为已知数看待，按解一元一次方程的步骤求得方程的解x(用k的代数式表示之)．这时再根据题中已知方程的解是非负数或是负数得到关于k的不等式，求出k的取值范围．这里要强调的是本题不是直接去解不等式，而是依已知条件获得不等式，属于不等式的应用．解：由已知方程有5x-4k+1=7x+4k-3可解得-2x=8k-4即x=2(1-2k)(1)已知方程的解是非负数，所以(2)已知方程的解是负数，所以例9当x在什么范围内取值时，代数式-3x+5的值：(1)是负数(2)大于-4(3)小于-2x+3(4)不大于4x-9分析：解题的关键是把“是负数”，“大于”，“小于”，“不大于”等文字语言准确地翻译成数字符号．解：(1)根据题意，应求不等式-3x+5＜0的解集解这个不等式，得(2)根据题意，应求不等式-3x+5＞-4的解集解这个不等式，得x＜3所以当x取小于3的值时，-3x+5的值大于-4．(3)根据...
