一元一次不等式和它的解法例1判断下列各式是不是一元一次不等式?分析:判断一个式子是不是一元一次不等式,看这个式子是不是只含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的不等式.解:(1)是一元一次不等式;(3)是一元一次不等式;(2)和(4)不是一元一次不等式.例2分析:两题都可以按通常的三步骤解.对于(1)题也可以根据两边都有分母为4的项的特点,可以先移项,合并分子的同类项后,再去分母.对于(2)也是可以先去中括号,得到5(x-3)>5后,再两边除以5,得到x-3>1.答案:说明:去分母时分数线相当于括号,同时不要漏乘不含分母的项.最关键要处理好乘或除一个数时不等号的方向问题.例3分析:不等式中含有分母,应先根据不等式的同解原理2去掉分母,再作其他变形,在去分母时,不要漏乘没有分母的“项”.解:去分母,得24-2(x-1)≥16+3(x+1)去括号,得24-2x+2≥16+3x+3移项,得-2x-3x≥16+3-24-2合并同类项,得-5x≥-7把系数化为1,得这个不等式的解集在数轴上的表示如下图所示:例4解答题(2)求不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解.分析:对(1)小题中要明白“不小于”即“大于或等于”,用符号表示即为“≥”;(2)小题非负整数,即指正数或零中的整数,所以此题的不等式的解必须是正整数或零.在求解过程中注意正确运用不等式性质.解:∴120-8x≥84-3(4x+1)(2) 10(x+4)+x≤84∴10x+40+x≤84∴11x≤44∴x≤4因为不大于4的非负整数有0,1,2,3,4五个,所以不等式10(x+4)+x≤84的非负整数解是4,3,2,1,0.例5解关于x的不等式(1)ax+2≤bx-1(2)m(m-x)>n(n-x)分析:解字母系数的不等式与解数字系数不等式的方法、步骤都是类似的,只是在求解过程中常要对字母系数进行讨论,这就增加了题目的难度.此类问题主要考察了对问题的分析、分类的能力:它不但要知道什么时候该进行分类讨论,而且还要求能准确地分出类别来进行讨论(结合例题解法再给与说明).解:(1) ax+2≤bx-1∴ax-bx≤-1-2即(a-b)x≤-3此时要依x字母系数的不同取值,分别求出不等式的解的形式.即(n-m)x>n2-m2当m>n时,n-m<0,∴x<n+m;当m<n时,n-m>0,∴x>n+m;当m=n时,n-m=0,n2=m2,n2-m2=0,原不等式无解.这是因为此时无论x取任何值时,不等式两边的值都为零,只能是相等的,所以不等式不成立.例6解关于x的不等式3(a+1)x+3a≥2ax+3.分析:由于x是未知数,所以把a看作已知数,又由于a可以是任意有理数,所以在应用同解原理时,要区别情况,分别处理.解:去括号,得3ax+3x+3a≥2ax+3移项,得3ax+3x-2ax≥3-3a合并同类项,得(a+3)x≥3-3a(3)当a+3=0,即a=-3,得0·x≥12这个不等式无解.说明:在处理字母系数的不等式时,首先要弄清哪一个字母是未知数,而把其它字母看作已知数,在运用同解原理把未知数的系数化为1时,应作合理的分类,逐一讨论.例7m为何值时,关于x的方程3(2x-3m)-2(x+4m)=4(5-x)的解是非正数.分析:根据题意,应先把m当作已知数解方程,然后根据解的条件列出关于m的不等式,再解这个不等式求出m的值或范围.注意:“非正数”是小于或等于零的数.解:由已知方程有6x-9m-2x-8m=20-4x可解得8x=20+17m已知方程的解是非正数,所以例8若关于x的方程5x-(4k-1)=7x+4k-3的解是:(1)非负数,(2)负数,试确定k的取值范围.分析:要确定k的范围,应将k作为已知数看待,按解一元一次方程的步骤求得方程的解x(用k的代数式表示之).这时再根据题中已知方程的解是非负数或是负数得到关于k的不等式,求出k的取值范围.这里要强调的是本题不是直接去解不等式,而是依已知条件获得不等式,属于不等式的应用.解:由已知方程有5x-4k+1=7x+4k-3可解得-2x=8k-4即x=2(1-2k)(1)已知方程的解是非负数,所以(2)已知方程的解是负数,所以例9当x在什么范围内取值时,代数式-3x+5的值:(1)是负数(2)大于-4(3)小于-2x+3(4)不大于4x-9分析:解题的关键是把“是负数”,“大于”,“小于”,“不大于”等文字语言准确地翻译成数字符号.解:(1)根据题意,应求不等式-3x+5<0的解集解这个不等式,得(2)根据题意,应求不等式-3x+5>-4的解集解这个不等式,得x<3所以当x取小于3的值时,-3x+5的值大于-4.(3)根据...