第2课时简单的三角恒等变换题型一三角函数式的化简与求值例1(1)化简：＝.(2)计算：＝.答案(1)cos2x(2)－4解析(1)原式＝＝＝＝＝cos2x.(2)原式＝＝＝－4.思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.(1)计算：tan70°cos10°(tan20°－1)＝.(2)若α∈，且3cos2α＝sin，则sin2α的值为.答案(1)－1(2)－解析(1)原式＝·cos10°()＝＝＝－＝－1.(2)cos2α＝sin＝sin＝2sincos代入原式，得6sincos＝sin， α∈，∴cos＝，∴sin2α＝cos＝2cos2－1＝－.题型二三角函数的求值命题点1给值求值问题例2(1)(2017·盐城、南京联考)已知α，β为锐角，cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝.答案解析 α为锐角，∴sinα＝＝. α，β∈(0，)，∴0<α＋β<π.又 sin(α＋β)，∴cos(α＋β)＝－.cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝＝.(2)(2015·广东)已知tanα＝2.①求tan(α＋)的值；②求的值.解①tan(α＋)＝＝＝－3.②＝＝＝＝1.命题点2给值求角问题例3(1)设α，β为钝角，且sinα＝，cosβ＝－，则α＋β的值为.(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，则2α－β的值为.答案(1)(2)－解析(1) α，β为钝角，sinα＝，cosβ＝－，∴cosα＝－，sinβ＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝>0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈(，2π)，∴α＋β＝.(2) tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，∴0<α<.又 tan2α＝＝＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝＝1. tanβ＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.引申探究本例(1)中，若α，β为锐角，sinα＝，cosβ＝，则α＋β＝.答案解析 α，β为锐角，∴cosα＝，sinβ＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.又0<α＋β<π，∴α＋β＝.思维升华(1)给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法；(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角.(1)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tanα＝，则2α－β＝.(2)已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于.答案(1)(2)解析(1)由tanα＝，得＝，即sinαcosβ＝cosα＋sinβcosα，所以sin(α－β)＝cosα，又cosα＝sin(－α)，所以sin(α－β)＝sin(－α)，又因为α∈(0，)，β∈(0，)，所以－<α－β<，0<－α<，因此α－β＝－α，所以2α－β＝.(2) α、β均为锐角，∴－<α－β<.又sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝.又sinα＝，∴cosα＝，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×(－)＝.∴β＝.题型三三角恒等变换的应用例4(2016·天津)已知函数f(x)＝4tanxsin·cos－.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性.解(1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}.f(x)＝4tanxcosxcos－＝4sinxcos－＝4sinx－＝2sinxcosx＋2sin2x－＝sin2x＋(1－cos2x)－＝sin2x－cos2x＝2sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)令z＝2x－，则函数y＝2sinz的单调递增区间是，k∈Z.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.设A＝，B＝{x|－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z}，易知A∩B＝.所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.思维升华三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形用.(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.已知函数f(x)＝cosx·sin(x＋)－cos2x＋，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间[－，]上的最大值和最小值.解(1)由已知，有f(x)＝cosx·(sinx＋cosx)－cos2x＋＝sinx·cosx－cos2x＋＝sin2x－(1＋cos2x)＋＝sin2x－cos2x＝sin(2x－).所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为f(x)在区间[－，－]上是减函数，在区间[－，]上是增函数，f(－)＝－，f(－)＝－，f()＝，所以函数...
