第五章平面向量5.3平面向量的数量积教师用书理苏教版1.向量的夹角已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π].2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角.则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)cosθ＝.(5)|a·b|≤|a||b|.4.平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝|AB|＝.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cosθ＝＝.【知识拓展】1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(×)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(√)(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(×)(4)在四边形ABCD中，AB＝DC且AC·BD＝0，则四边形ABCD为矩形.(×)(5)两个向量的夹角的范围是[0，].(×)1.设a，b，c为平面向量，有下面几个命题：①a·(b－c)＝a·b－a·c；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③(a－b)2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2；④若a·b＝0，则a＝0，b＝0.其中正确的有________个.答案1解析由向量的数量积的性质知①正确；由向量的数量积的运算不满足结合律知②不正确；由(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2知③不正确；对于④， a·b＝|a||b|·cosθ＝0，∴|a|＝0或|b|＝0或cosθ＝0.∴a＝0或b＝0或a⊥b，故④不正确.2.(教材改编)已知△ABC中，BC＝4，AC＝8，∠C＝60°，则BC·CA＝________.答案－16解析画图可知向量BC与CA夹角为角C的补角(图略)，故BC·CA＝BC×ACcos(π－C)＝4×8×(－)＝－16.3.(教材改编)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m＝________.答案解析 a·b＝(1，)·(3，m)＝3＋m，又a·b＝××cos，∴3＋m＝××cos，∴m＝.4.(教材改编)已知向量a＝(2，4)，b＝(1，1)，若向量b⊥(a＋λb)，则实数λ的值是________.答案－3解析b·(a＋λb)＝b·a＋λb·b＝2×1＋4×1＋2λ＝0⇒λ＝－3.5.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AE与BD交于点M，AB＝，AD＝1，且MA·MB＝－，则AB·AD＝________.答案解析因为AM＝AE＝(AD＋AB)＝AD＋AB，MB＝DB＝(AB－AD)，所以AM·MB＝(AD＋AB)·(AB－AD)＝，所以AB·AD＝.题型一平面向量数量积的运算例1(1)(2016·江苏南京开学测试)已知在▱ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°.若E为DC的中点，且AE·BD＝1，则BD·BE的值为________.(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为________.答案(1)3(2)11解析(1)设AB＝m(m>0)，以向量AB，AD为基底，在▱ABCD中，AB＝m，AD＝2，∠BAD＝60°，则AE·BD＝(AD＋AB)·(AD－AB)＝AD2－AB·AD－AB2＝4－m－m2，因为AE·BD＝1，得m2＋m－6＝0，因为m>0，所以m＝2，所以BD·BE＝BD·(BC＋CE)＝(AD－AB)·(AD－AB)＝AD2－AB·AD＋AB2＝4－3＋2＝3，故BD·BE＝3.(2)方法一以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设E(t，0)，t∈[0，1]，则DE＝(t，－1)，CB＝(0，－1)，所以DE·CB＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为DC＝(1，0)，所以DE·DC＝(t，...
