第五章平面向量5.4平面向量的综合应用教师用书理苏教版1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题向量共线定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题.2.平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角).3.向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.【知识拓展】1.若G是△ABC的重心，则GA＋GB＋GC＝0.2.若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若AB∥AC，则A，B，C三点共线.(√)(2)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则.(√)(3)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角.(×)(4)在△ABC中，若AB·BC<0，则△ABC为钝角三角形.(×)(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8，0)，若动点P满足：OP＝OA＋t(AB＋AC)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(√)1.已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值为________.答案4解析设a与b夹角为α， |2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8－4|a||b|cosα＝8－8cosα， α∈[0，π]，∴cosα∈[－1，1]，∴8－8cosα∈[0，16]，即|2a－b|2∈[0，16]，∴|2a－b|∈[0，4].∴|2a－b|的最大值为4.2.(教材改编)已知力F＝(2，3)作用在一物体上，使物体从A(2，0)移动到B(－2，3)，则F对物体所做的功为________焦耳.答案1解析由已知位移AB＝(－4，3)，∴力F做的功为W＝F·AB＝2×(－4)＋3×3＝1.3.(2016·泰州模拟)平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足OP·OA＝4，则点P的轨迹方程是____________(填“内心”、“外心”、“重心”或“垂心”).答案x＋2y－4＝0解析由OP·OA＝4，得(x，y)·(1，2)＝4，即x＋2y＝4.4.在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP＝2PM，则PA·(PB＋PC)＝________.答案－解析因为M是BC的中点，所以PB＋PC＝2PM，所以PA·(PB＋PC)＝－AM·AM＝－.5.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则(AP·BP)min＝________.答案1解析取AB的中点D，连结CD、CP(图略).所以AP·BP＝(AC＋CP)·(BC＋CP)＝AC·BC＋CP·(AC＋BC)＋CP2＝(2)2×－CP·2CD＋1＝7－6cos〈CP，CD〉，当cos〈CP，CD〉＝1时，AP·BP取得最小值1.题型一向量在平面几何中的应用例1(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点.若AC·BE＝1，则AB＝________.(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________.(填“内心”“外心”“重心”或“垂心”)答案(1)(2)重心解析(1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则BE＝FD，∴BE＝FD＝AD－AB，又 AC＝AD＋AB，∴AC·BE＝(AD＋AB)·(AD－AB)＝AD2－AD·AB＋AD·AB－AB2＝|AD|2＋|AD||AB|cos60°－|AB|2＝1＋×|AB|－|AB|2＝1.∴|AB|＝0，又|AB|≠0，∴|AB|＝.(2)由原等式，得OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB＋AC)，根据平行四边形法则，知AB＋AC是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心.引申探究在本例(2)中，若动点P满足OP＝OA＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________.(填“内心”“外心”...
