4．空间向量与立体几何1．(2017·苏锡常镇调研)如图，已知正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB＝2，点M，N分别在PA，BD上，且＝＝.(1)求异面直线MN与PC所成角的大小；(2)求二面角N－PC－B的余弦值．解(1)设AC，BD交于点O，在正四棱锥P－ABCD中，OP⊥平面ABCD，又PA＝AB＝2，所以OP＝.以O为坐标原点，DA，AB，OP方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系O－xyz，如图．则A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，)，AP＝(－1,1，)．故OM＝OA＋AM＝OA＋AP＝，ON＝OB＝，所以MN＝，PC＝(－1,1，－)，所以cos〈MN，PC〉＝＝，所以异面直线MN与PC所成角的大小为.(2)由(1)知PC＝(－1,1，－)，CB＝(2,0,0)，NC＝.设m＝(x，y，z)是平面PCB的法向量，则m·PC＝0，m·CB＝0，可得令y＝，则z＝1，即m＝(0，，1)．设n＝(x1，y1，z1)是平面PCN的法向量，则n·PC＝0，n·CN＝0，可得令x1＝2，则y1＝4，z1＝，即n＝(2,4，)，所以cos〈m，n〉＝＝＝，则二面角N－PC－B的余弦值为.2．(2017·常州期末)如图，以正四棱锥V－ABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O－xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC的中点．正四棱锥的底面边长为2a，高为h，且有cos〈BE，DE〉＝－.(1)求的值；(2)求二面角B－VC－D的余弦值．解(1)根据条件，可得B(a，a,0)，C(－a，a,0)，D(－a，－a,0)，V(0,0，h)，E，所以BE＝，DE＝，故cos〈BE，DE〉＝.又cos〈BE，DE〉＝－，则＝－，解得＝.(2)由＝，得BE＝，DE＝，且容易得到，CB＝(2a,0,0)，DC＝(0,2a,0)．设平面BVC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即则取y1＝3，z1＝2，则n1＝(0,3,2)．同理可得平面DVC的一个法向量为n2＝(－3,0,2)．cos〈n1，n2〉＝＝＝，结合图形，可以知道二面角B－VC－D的余弦值为－.3．(2017·南京学情调研)如图，在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是线段PC的中点．(1)求异面直线AP与BE所成角的大小；(2)若点F在线段PB上，且使得二面角F－DE－B的正弦值为，求的值．解(1)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，所以DA，DC，DP两两垂直，故以{DA，DC，DP}为正交基底，建立空间直角坐标系D－xyz.因为PD＝DC，所以DA＝DC＝DP，不妨设DA＝DC＝DP＝2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)．因为E是PC的中点，所以E(0,1,1)，所以AP＝(－2,0,2)，BE＝(－2，－1,1)，所以cos〈AP，BE〉＝＝，从而〈AP，BE〉＝.因此异面直线AP与BE所成角的大小为.(2)由(1)可知，DE＝(0,1,1)，DB＝(2,2,0)，PB＝(2,2，－2)．设PF＝λPB，则PF＝(2λ，2λ，－2λ)，从而DF＝DP＋PF＝(2λ，2λ，2－2λ)．设m＝(x1，y1，z1)为平面DEF的法向量，则即取z1＝λ，则y1＝－λ，x1＝2λ－1.故m＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF的一个法向量，设n＝(x2，y2，z2)为平面DEB的法向量．则即取x2＝1，则y2＝－1，z2＝1.所以n＝(1，－1,1)为平面BDE的一个法向量．因为二面角F－DE－B的余弦值的绝对值为，即|cos〈m，n〉|＝＝＝，化简得4λ2＝1.因为点F在线段PB上，所以0≤λ≤1，所以λ＝，即＝.4.(2017·苏北四市一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．(1)求异面直线AP，BM所成角的余弦值；(2)点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．解(1)因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.又因为∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)．又因为M为PC的中点，所以M(1,1,2)．所以BM＝(－1,1,2)，AP＝(0,0,4)，所以cos〈AP，BM〉＝＝＝，所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为.(2)因为AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN＝(－1，λ－1，－2)，BC＝(0,2,0)，PB＝(2,0，－4)．设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，则即令x＝2，解得y＝0，z＝1，所以m＝(2,0,1)是平面PBC的一个法向量．因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，所以|cos〈MN，m〉|＝＝＝，解得λ＝1∈[0,4]，所以λ的值为1.
