解答题滚动练41.如图，在四棱锥P－ABCD中，已知底面ABCD为矩形，且AB＝，BC＝1，E，F分别是AB，PC的中点，PA⊥DE.(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAC⊥平面PDE.证明(1)方法一取线段PD的中点M，连结FM，AM.因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM＝CD.因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以EA∥CD，且EA＝CD.所以FM∥EA，且FM＝EA.所以四边形AEFM为平行四边形，所以EF∥AM.又AM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.方法二连结CE并延长交DA的延长线于N，连结PN.因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE.又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA.所以CE＝NE.又F为PC的中点，所以EF∥NP.又NP⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.方法三取CD的中点Q，连结FQ，EQ.在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE＝DQ，且AE∥DQ.所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD.又AD⊂平面PAD，EQ⊄平面PAD，所以EQ∥平面PAD.因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD.又PD⊂平面PAD，FQ⊄平面PAD，所以FQ∥平面PAD.又FQ，EQ⊂平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD.因为EF⊂平面EQF，所以EF∥平面PAD.(2)设AC，DE相交于G.在矩形ABCD中，因为AB＝BC，E为AB的中点，所以＝＝.又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA.又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°.由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°.即DE⊥AC.又PA⊥DE，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以DE⊥平面PAC，又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE.2．如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16km处，AB的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P.垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求(A，B，P可看成三个点)：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大)．现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？解方法一由条件①，得＝＝.设PA＝5x，PB＝3x，则cos∠PAB＝＝＋，所以点P到直线AB的距离h＝PAsin∠PAB＝5x＝＝，所以当x2＝34，即x＝时，h取得最大值15km.即选址应满足PA＝5km，PB＝3km.方法二以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－8,0)，B(8,0)．由条件①，得＝＝.设P(x，y)(y>0)，则3＝5，化简得(x－17)2＋y2＝152(y>0)，即点P的轨迹是以点(17,0)为圆心、15为半径的圆位于x轴上方的部分．则当x＝17时，点P到直线AB的距离最大，最大值为15km.所以点P的选址应满足在上述坐标系中坐标为(17,15)即可．方法三由条件①，得＝＝.过点P作PD垂直于AB，设PD＝h，AD＝x，则DB＝|16－x|，3＝5，h2＝－(x－25)2＋225.所以当x＝25时，h取得最大值15.答选址应满足PA＝5km，PB＝3km.3．已知数列{an}满足an＋an＋1＝2n－3，n∈N*.(1)若数列{an}为等差数列，求a1；(2)设a1＝a(a＞0)，∀n∈N*，n≥2，不等式≥3成立，求实数a的最小值．解(1)设数列{an}公差为d，则2n－3＝an＋an＋1＝a1＋(n－1)d＋a1＋nd＝2dn＋(2a1－d)对∀n∈N*成立，所以故d＝1，a1＝－1.(2)由an＋an＋1＝2n－3，知{an－(n－2)}为等比数列，公比q＝－1，所以an－(n－2)＝(a＋1)(－1)n－1，故an＝(n－2)＋(a＋1)(－1)n－1.①当n为不小于3的奇数时，由≥3，得≥3，化简得a2＋a≥－(n－3)2＋2恒成立，所以a2＋a≥2，解得a≥1.②n为不小于2的偶数时，同理有a2＋3a≥－(n－3)2恒成立，因为a＞0，显然恒成立．所以a＞0.由①②得a≥1，故a的最小值为1.4．已知椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，点A，B分别为其左、右顶点，点F1，F2分别为其左、右焦点，以点A为圆心、AF1为半径作圆A，以点B为圆心、OB为半径作圆B.若直线l：y＝－x被圆A和圆B截得的弦长之比为∶6.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知a＝7，问在x轴上是否存在点P，使得过点P有无数条直线被圆A和圆B截得的弦长之比为3∶4，若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)分别过点A，B作直线l的垂线，垂...
