小题满分练71．(2017·镇江期末)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．答案5解析A∪B＝{1,2,3,4,5}，故集合A∪B中元素的个数为5.2．i为虚数单位，则＝________.答案－i解析＝＝＝－.3．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为________．答案9解析这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为(0.004＋0.002)×50×30＝9.4．箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2只球颜色不同的概率为________．答案解析对红球和白球进行编号：红1，红2，红3，白1，白2，则摸到的2只球的可能性有10种：红1，红2；红1，红3；红1，白1；红1，白2；红2，红3；红2，白1；红2，白2；红3，白1；红3，白2；白1，白2.摸到的2只球颜色不同的有6种：红1，白1；红1，白2；红2，白1；红2，白2；红3，白1；红3，白2.故摸到的2球颜色不同的概率为.5．若k∈R，则k>3是方程－＝1表示双曲线的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析方程＋＝1表示双曲线，只需满足(k－3)(－k－3)＜0，解得k＞3或k＜－3.所以k＞3是方程－＝1表示双曲线的充分不必要条件．6．(2017·南通一调)如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为________．答案5解析n＝1，a＝1，第一次循环，a＝1＜16，a＝3＋2＝5，n＝1＋2＝3；第二次循环，a＝5＜16，a＝15＋2＝17，n＝3＋2＝5；此时a＝17＞16，退出循环，输出值n＝5.7．(2017·苏锡常镇调研)已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为__________．答案解析如图所示的正四棱锥P－ABCD中，PA＝，AB＝2，故AO＝AB＝，所以PO＝＝＝1，所以V＝Sh＝×22×1＝.8．(2017·南京学情调研)已知各项均为正数的等比数列{an}，其前n项和为Sn.若a2－a5＝－78，S3＝13，则数列{an}的通项公式an＝________.答案3n－1解析设等比数列的公比为q＞0，则由题意得两式相除得q2－q－6＝0，即q＝3或q＝－2(舍去)，从而得a1＝1，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1.9．若tanα＝，tan(α－β)＝－，则tan(β－2α)＝________.答案－解析方法一因为tanα＝，所以tan2α＝＝＝.又tan(α－β)＝＝＝－，故tanβ＝1.所以tan(β－2α)＝＝＝－.方法二tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan(α＋α－β)＝－＝－＝－.10．以双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F为圆心，a为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为__________．答案解析因为双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，则右焦点到渐近线的距离为b，故a＝b，a2＝b2＝c2－a2，即2＝＝e2，所以e＝.11.在周长为10的△ABC中，AB＝2，则CA·CB的最小值是________．答案14解析设CA＝m，CB＝n，则m＋n＝8，所以由余弦定理可得CA·CB＝mncosC＝＝＝＝30－mn，又因为mn≤2＝16，所以CA·CB≥30－16＝14.12．已知函数f(x)＝x3＋2x，若f(1)＋f()>0(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是________．答案(0,1)∪(3，＋∞)解析由函数f(x)的解析式易得该函数为奇函数且在定义域R上是单调增函数．故f(1)＋f(3)>0等价于f(3)>－f(1)＝f(－1)，即3>－1＝a.所以或解得0
3.13．已知函数f(x)＝2x－1＋a，g(x)＝bf(1－x)，其中a，b∈R.若关于x的不等式f(x)≥g(x)的解的最小值为2，则a的取值范围是________．答案(－∞，－2]∪解析因为g(x)＝b(2－x＋a)，所以2x－1＋a≥＋ab，即(2x)2－2a(b－1)2x－2b≥0.由“二次不等式与二次方程的根的关系”知，关于2x的方程(2x)2－2a(b－1)·2x－2b＝0中2x的值分别为4，－，因为2x取正值，要想2x最小为4，所以－≤0，即b≥0.又因为4－＝2a(b－1)，所以b＝≥0，解得a≤－2或a>－.14．(2017·湖北百校联考)若函数f(x)＝·＋3a＋x在上单调递增，则实数a的取值范围为________________________．答案[1，＋∞)解析f(x)＝cos2x＋3a(sinx－cosx)＋(4a－1)x，故f′(x)＝－sin2x＋3a(cosx＋sinx)＋4a－1＝－(cosx＋sinx)2＋3a(cosx＋sinx)＋4a≥0在上恒成立，令sinx＋cosx＝t，x∈，则t＝sin，t∈[－1,1]，故不等式可化为－t2＋3at＋4a≥0在区间[－1,1]上恒成立．令g(t)＝－t2＋3at＋4a，只需即⇒a≥1.
