1．解三角形1．(2017·苏锡常镇调研)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．已知acosB＝3，bcosA＝1，且A－B＝.(1)求c的长；(2)求B的大小．解(1)方法一在△ABC中，acosB＝3，由余弦定理，得a·＝3，得a2＋c2－b2＝6c，①bcosA＝1，则b·＝1，得b2＋c2－a2＝2c，②①＋②得2c2＝8c，所以c＝4.方法二因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，则sinAcosB＋sinBcosA＝sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，由＝＝，得sinA＝，sinB＝，代入上式得c＝acosB＋bcosA＝3＋1＝4.(2)由正弦定理得＝＝＝3.又tan(A－B)＝＝＝，解得tanB＝.又B∈(0，π)，所以B＝.2．(2017·苏州暑假测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bcosC＋ccosB＝2acosA.(1)求角A的大小；(2)若AB·AC＝，求△ABC的面积．解(1)方法一在△ABC中，由正弦定理及bcosC＋ccosB＝2acosA，得sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosA，即sinA＝2sinAcosA.因为A∈(0，π)，则sinA≠0，所以cosA＝，所以A＝.方法二在△ABC中，由余弦定理及bcosC＋ccosB＝2acosA，得b·＋c·＝2a·，所以a2＝b2＋c2－bc，所以cosA＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝.(2)由AB·AC＝bccosA＝，得bc＝2，所以△ABC的面积S＝bcsinA＝×2sin＝.3．(2017·南京、盐城一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C＝csinB.(1)求角C的大小；(2)若sin＝，求sinA的值．解(1)由bsin2C＝csinB，根据正弦定理得2sinBsinCcosC＝sinCsinB.因为sinB＞0，sinC＞0，所以cosC＝.又C∈(0，π)，所以C＝.(2)因为C＝，所以B∈，所以B－∈，又sin＝，所以cos＝＝.又A＋B＝，即A＝－B，所以sinA＝sin＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.4.(2017·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD＝3DB，cosA＝，cos∠ACB＝，BC＝13.(1)求cosB的值；(2)求CD的长．解(1)在△ABC中，cosA＝，A∈(0，π)，所以sinA＝＝＝.同理可得，sin∠ACB＝.所以cosB＝cos[π－(A＋∠ACB)]＝－cos(A＋∠ACB)＝sinAsin∠ACB－cosAcos∠ACB＝×－×＝.(2)在△ABC中，由正弦定理，得AB＝sin∠ACB＝×＝20.又AD＝3DB，所以BD＝AB＝5.在△BCD中，由余弦定理，得CD＝＝＝9.
