4．应用题1．(2017·苏锡常镇调研)某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC(如图)．设计要求彩门的面积为S(单位：m2)，高为h(单位：m)(S，h为常数)．彩门的下底BC固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架组成，设腰和下底的夹底为α，不锈钢支架的长度之和记为l.(1)请将l表示成关于α的函数l＝f(α)；(2)问：当α为何值时l最小，并求最小值．解(1)过D作DH⊥BC于点H，则∠DCB＝α，DH＝h，设AD＝x.则DC＝，CH＝，BC＝x＋.因为S＝·h，则x＝－，则l＝f(α)＝2DC＋AD＝＋h.(2)f′(α)＝h·＝h·，令f′(α)＝h·＝0，得α＝.当α变化时，f′(α)，f(α)的变化情况如下表：αf′(α)－0＋f(α)↘极小值↗所以lmin＝f＝h＋.答当α＝时，l有最小值，为h＋(m)．2．(2017·南京学情调研)如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域(以O为圆心，AB为直径)，现计划对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD＝80m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Sm2.设∠AOC＝xrad.(1)写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；(2)试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值？解(1)因为扇形AOC的半径为40m，∠AOC＝xrad，所以扇形AOC的面积S扇形AOC＝＝800x,0＜x＜π.在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，所以△COD的面积S△COD＝OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx，从而S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x,0＜x＜π.(2)由(1)知，S(x)＝1600sinx＋800x,0＜x＜π，则S′(x)＝1600cosx＋800＝1600，由S′(x)＝0，解得x＝，从而当0＜x＜时，S′(x)＞0；当＜x＜π时，S′(x)＜0，因此S(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．所以当x＝时，S(x)取得最大值．答当∠AOC＝时，改建后的绿化区域面积S最大．3．某宾馆在装修时，为了美观，欲将客户的窗户设计成半径为1m的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口．(1)若窗口ABCD为正方形，且面积大于m2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；(2)若四根木条总长为6m，求窗口ABCD面积的最大值．解(1)设一根木条长为xm，则正方形的边长为2＝m.因为S四边形ABCD＞，所以4－x2＞，即x＜.又因为四根木条将圆分成9个区域，所以x＞，所以4＜4x＜2.答四根木条总长的取值范围为(4，2)．(2)方法一设AB所在的木条长为am，则BC所在的木条长为(3－a)m.因为a∈(0,2)，3－a∈(0,2)，所以a∈(1,2)．S矩形ABCD＝4·＝·＝，设f(a)＝a4－6a3＋a2＋24a－20，则f′(a)＝4a3－18a2＋2a＋24＝2(a＋1)(2a－3)(a－4)，令f′(a)＝0，得a＝或a＝－1(舍去)或a＝4(舍去)．当a变化时，f′(a)，f(a)的变化情况如下表：af′(a)＋0－f(a)↗极大值↘所以当a＝时，f(a)max＝f＝，即Smax＝.答窗口ABCD面积的最大值为m2.方法二设AB所在的木条长为am，BC所在的木条长为bm．由条件知，2a＋2b＝6，即a＋b＝3.因为a，b∈(0,2)，所以b＝3－a∈(0,2)，从而a，b∈(1,2)．由于AB＝2，BC＝2，S矩形ABCD＝4＝，因为≤≤＝，当且仅当a＝b＝∈(1,2)时，S矩形ABCD＝为最大值．答窗口ABCD面积的最大值为m2.4．某隧道设计为双向四车道，车道总宽20m，要求通行车辆限高4.5m，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy.(1)若最大拱高h为6m，则隧道设计的拱宽l是多少？(2)为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高h不小于6m，则应如何设计拱高h和拱宽l，使得隧道口截面面积最小？隧道口截面面积公式为S＝lh.解(1)设抛物线的方程为y＝－ax2(a＞0)，则抛物线过点，代入抛物线方程解得a＝，令y＝－6，解得x＝±20，则隧道设计的拱宽l是40m.(2)抛物线最大拱高为hm，h≥6，抛物线过点，代入抛物线方程得a＝.令y＝－h，则－x2＝－h，解得x2＝，则2＝，h＝.因为h≥6，所以≥6，即20＜l≤40.所以S＝lh＝l·＝(20＜l≤40)．所以S′＝＝＝，当20＜l＜20时，S′＜0；当20＜l≤40时，S′＞0，即S在(20,20)上单调递减，在(20，40]上单调递增，所以S在l＝20时取得最小值，此时l＝20，h＝.答当拱高为m，拱宽为20m时，使得隧道口截面面积最小．
