张量分析总结VIP免费

精品文档随意编辑一、知识总结1张量概念1.1指标记法哑标和自由指标的定义及性质自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。例：333323213123232221211313212111BxAxAxABxAxAxABxAxAxA(1.1)式(1.1)可简单的表示为下式：ijijBxA(1.2)其中：i为自由指标，j为哑标。特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j则在同项中可出现两次，表示遍历求和。在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。1.2Kronecker符号定义ij为：jijiij,0,1(1.3)精品文档随意编辑ij的矩阵形式为：100010001ij(1.4)可知3ijijiijj。δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。如：ijjkikijjkklil(1.5)ij的作用：更换指标、选择求和。1.3Ricci符号为了运算的方便，定义Ricci符号或称置换符号：其余情况为奇排列为偶排列,0,,,1,,,1kjikjilijk(1.6)图1.1i,j,k排列图ijkl的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。Ricci符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。精品文档随意编辑1.4坐标转换图1.2坐标转换如上图所示，设旧坐标系的基矢为ie，新坐标系的基矢为'ie。有''ijijijeeee'ie在ie下进行分解：''11'22'33'iiiiijjeeeeeje在'ie下进行分解：''''1'12'23'3'jjjjijieeeee其中，''''cos(,)ijijijjieeeeee为新旧坐标轴间的夹角余弦，称为坐标转换系数。空间点P在新老坐标系矢径：0rrrexrexrjjii(1.7)其中'0r为上图中坐标原点的位移矢量。将'r向新坐标轴上投影的矢量的分量：'''''''''''''''''0000()()()()ikkikkiiikkijjikkijijijijrexeexxrrexeexeexxxx即由此得新坐标用老坐标表示的公式：ijjiixxx0)((1.8)类似地，将i向老坐标上投影，可以推导出老坐标用新坐标表示的公式：''0()jjiijxxx(1.9)特别的，当新旧坐标原点重合时，也即坐标轴仅发生旋转，此时'0()0ix，上两式的矩阵形式为：精品文档随意编辑'1''Txxxxx(1.10)由上可知，TI，是正交矩阵，则'1ij。综合以上可知：''''''''''''''''ijlklkiljkiljkikjkikjkijijijeeeeee(1.11)同理，可推出：''ijkikj将老坐标到新坐标的坐标转换称为正转换，''()iijxxx；将新坐标到老坐标的坐标转换称为正转换，'()jjixxx''iijjxdxdxx，其中'ijxx为常数，称'ijxJx为雅克比行列式。若J处处不为0，则说明存在相应的逆变化，即：'''jiijjixxxx1.5张量的分量坐标转换规律1.5.1一阶张量一阶张量在新老坐标系中的分解为：jjiieaeaa(1.12)其中：ijijee(1.13)则：ijijiieaeaa(1.14)得到：jijiaa(1.15)同理：jjiiee(1.16)精品文档随意编辑得：ijijaa(1.17)矢量是与一阶基矢相关联的不变量，可表示为一阶基矢的线性组合，此组合与坐标系的选择无关，故为一阶张量，标量为零阶张量。1.5.2二阶张量定义jiee为二阶基矢，写在一起，不作任何运算。由下式：ijijjjiieeee(1.18)可得坐标变换时二阶基矢的转换规律为：jinjminmnmnjmijieeeeeeee(1.19)又：jjiijjiiebeaebeaab(1.20)记：jiijbaB，jiijbaB(1.21)则：jiijjiijeeBeeBab(1.22)该式表示a与b并乘为一个坐标不变量，称为二阶张量。记为：jiijjiijeeBeeBB(1.23)将式(1.13)代入上式可得：ijnjmimnmnnjmiijBBBB(1.24)此分量转换可进一步推广到高阶张量。张量与坐标轴选择无关，故可独立于坐标系来表述。精品文档随意编辑2张量的代数运算2.1张量的加减假如A、B为同阶张量，将它们在同一坐标系下的同类型分量一一相加（减），得到的结果即为它们的和（差），记为)(BABA，例如：ijijBABA(2.1)显然，同阶张量进行加减运算后仍为同阶张量。2.2标量与张量的积张量A，标量λ，若AB，则：ijijAB(2.2)2.3张量的并积两个同维不同阶（同阶）张量A、B的并积C是一个阶数为A、B阶数之和的高阶张量。kjiijkeeeAA(2.3)mllmeeBB(2.4)mlkjiijklmeeeeeCBAC(2.5...