一、选择题1．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1.则原命题与其逆命题的真假情况是()．A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题2．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是()．A．a＞b＋1B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b33．(2011广东广州模拟)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()．A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数4．(2011东北三校联考)设p：log2x＜0，q：，则p是q的()．A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．(2011山东威海调研)已知集合M＝{x|0＜x＜1}，集合N＝{x|－2＜x＜1}，那么“a∈N”是“a∈M”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．(2012江西南昌调研)已知α，β为不重合的两个平面，直线m⊂α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题7．命题“若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为__________．8．设有如下三个命题：甲：m∩l＝A，m，lα，m，lβ；乙：直线m，l中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时，乙是丙的__________条件．9．已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③r是q的必要条件而不是充分条件；④p是s的必要条件而不是充分条件；⑤r是s的充分条件而不是必要条件．则正确命题的序号是__________．三、解答题10．求证：关于x的一元二次不等式ax2－ax＋1＞0对于一切实数x都成立的充要条件是0＜a＜4.11．设函数f(x)＝lg(x2－x－2)的定义域为集合A，函数g(x)＝的定义域为集合B.已知α：x∈A∩B，β：x满足2x＋p≤0，且α是β的充分条件，求实数p的取值范围．12．已知条件p：|5x－1|＞a和条件q：＞0，请选取适当的实数a的值，分别利用所给出的两个条件作为A，B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题．则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．参考答案一、选择题1．A解析：可以考虑原命题的逆否命题，即a，b都小于1，则a＋b＜2，显然为真．其逆命题，即a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，为假，如a＝1.2，b＝0.2，则a＋b＜2.2．A解析：A选项中a＞b＋1＞b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以为充分不必要条件，故选A.3．C解析：由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.4．B解析：由题可知p：log2x＜0，解得0＜x＜1；q：，解得x＜1.所以p是q的充分不必要条件，故选B.5．B解析：因为MN，所以a∈M⇒a∈N，反之，则不成立，故“a∈N”是“a∈M”的必要而不充分条件，故选B.6．A二、填空题7．2解析：先写出其命题的逆命题、否命题、逆否命题，逐一判断．或只写出逆命题，判断原命题和逆命题的真假即可，原命题为真，逆命题为假．8．充要解析：由题意乙⇒丙，丙⇒乙．故当甲成立时乙是丙的充要条件．9．①②④解析：由题意知，∴s⇔q，①正确；p⇒r⇒s⇒q，∴p⇒q，但qp，②正确；同理判断③⑤不正确，④正确．三、解答题10．证明：(1)必要性：若ax2－ax＋1＞0对x∈R恒成立，由二次函数性质有即∴0＜a＜4.(2)充分性：若0＜a＜4，对函数y＝ax2－ax＋1，其中Δ＝a2－4a＝a(a－4)＜0且a＞0，∴ax2－ax＋1＞0对x∈R恒成立．由(1)(2)知，命题得证．11．解：依题意，得A＝{x|x2－x－2＞0}＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，B＝＝(0,3]，∴A∩B＝(2,3]．设集合C＝{x|2x＋p≤0}，则x∈.∵α是β的充分条件，∴(A∩B)⊆C.则需满足3≤－⇒p≤－6.∴实数p的取值范围是(－∞，－6]．12．解：已知条件p即5x－1＜－a或5x－1＞a，∴x＜或x＞.已知条件q即2x2－3x＋1＞0，∴x＜或x＞1；令a＝4，则p即x＜－或x＞1，此时必有p⇒q成立，反之不然．故可以选取一个实数是a＝4，A为p，B为q，对应的命题是若p则q.
