课时规范练42空间向量及其运算一、基础巩固组1.已知空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则=()A.a-b+cB.-a+b+cC.a+b-cD.a+b-c2.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O,球面上的两个点A,B的坐标分别为A(1,2,2),B(2,-2,1),则|AB|等于()A.18B.12C.3D.23.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若+x+y,则x,y的值分别为()A.x=1,y=1B.x=1,y=C.x=,y=D.x=,y=14.向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论正确的是()A.a∥b,a∥cB.a∥b,a⊥cC.a∥c,a⊥bD.以上都不对5.A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足=0,=0,=0,M为BC中点,则△AMD是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定6.(2017浙江舟山模拟)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量两两的夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||等于()A.5B.6C.4D.87.已知空间向量a,b,满足|a|=|b|=1,且a,b的夹角为,O为空间直角坐标系的原点,点A,B满足=2a+b,=3a-b,则△OAB的面积为.8.在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为.9.(2017宁夏银川模拟)已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则||的值是.10.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为△BC1D的重心,求证:(1)A1,G,C三点共线;(2)A1C⊥平面BC1D.导学号〚21500751〛二、综合提升组11.已知=(2,2,-2),=(1,y,z),若=(x-1,y,1),且BP⊥AB,则实数x,y,z分别为()A.5,-1,1B.1,1,-1C.-3,1,1D.4,1,-212.(2017安徽合肥质检)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,点M是BC的中点,点P∈AC1,Q∈MD,则PQ长度的最小值为()A.1B.C.D.213.(2017内蒙古包头模拟)如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<>=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为.导学号〚21500752〛14.在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.(1)求证:EF⊥CD.(2)在平面PAD内是否存在一点G,使GF⊥平面PCB.若存在,求出点G坐标;若不存在,试说明理由.三、创新应用组15.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为.16.如图所示的直三棱柱ABC-A1B1C1,在其底面三角形ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(1)求的模;(2)求cos<>的值;(3)求证:A1B⊥C1M.导学号〚21500753〛课时规范练42空间向量及其运算1.B)-=-a+b+c.2.C|AB|==33.C如图,)=4.C因为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=2a,所以a∥c.又a·b=(-2)×2+(-3)×0+1×4=0,所以a⊥b.5.C∵M为BC中点,).)=0.∴AM⊥AD,△AMD为直角三角形.6.A设=a,=b,=c,则=a+b+c,||2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=25,因此||=5.7由=2a+b,=3a-b,得||=,||==(2a+b)·(3a-b)=∴cos∠BOA=,∴sin∠BOA=∴S△OAB=|||sin∠BOA=8.2由题意知=0,||=||=(6,-2,-3),=(x-4,3,-6),解得x=2.9设P(x,y,z),则=(x-1,y-2,z-1),=(-1-x,3-y,4-z).由=2,得点P坐标为又D(1,1,1),∴||=10.证明(1))=)=)=,,即A1,G,C三点共线.(2)设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a·b=b·c=c·a=0.=a+b+c,=c-a,=(a+b+c)·(c-a)=c2-a2=0.因此,即CA1⊥BC1.同理CA1⊥BD.又BD与BC1是平面BC1D内的两条相交直线,故A1C⊥平面BC1D.11.B,=-,解得y=1,z=-1.∵BP⊥AB,∴2(x-1)+2y-2=0,解得x=1.12.C根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,设P(x0,2x0,3-3x0),Q(x1,2-x1,3),x0∈[0,1],x1∈[0,1],所以PQ=,当且仅当x0=,x1=时,PQ取得最小值,即PQmin=13.(1,1,1)由已知得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),设P(0,0,a)(a>0),则E,所以=(0,0,a),,||=a,||=又cos<>=,所以,解得a2=4,即a=2,所以E(1,1,1).14.(1)证明如图,以DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E,P(0,0,a),F=(0,a,0).=0,,即EF⊥CD.(2)解假设存在满足条件的点G,设G(x,0,z),则,若使GF⊥平面PCB,则由x-,-,z-(a,0,0)=a=0,得x=由x-,-,z-(0,-a,a)=+a=0,得z=0.∴点G坐标为,即存在满足条件的点G,且点G为AD的中点.15以A为坐标原点,射线AB,AD,AQ分别为x,y,z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形ABCD和ADPQ的边长为2,则E(1,0,0),F(2,1,0),M(0,y,2)(0≤y≤2).所以=(2,1,0),=(-1,y,2).所以=-2+y,||=,||=所以cosθ==令2-y=t,则y=2-t,且t∈[0,2].所以cosθ==当t=0时,cosθ=0.当t≠0时,cosθ==,由t∈(0,2],得,所以所以0==(3)证明依题意,得C1(0,0,2),M=(-1,1,-2),,=-+0=0.,∴A1B⊥C1M.
