专题限时集训(八)[第8讲平面向量及其应用](时间：45分钟)1．已知平面向量a＝(3，1)，b＝(x，3)，且a⊥b，则实数x的值为()A．9B．1C．－1D．－92．已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量a＝(sinA，1)，b＝(1，－cosB)，则a与b的夹角是()A．锐角B．钝角C．直角D．不确定3．已知△ABC所在平面内有一点O，使OA＝2OB＋5OC，则△ABC与△OBC的面积比为()A．10B．6C．2D．14．设a＝(cos23°，cos67°)，b＝(cos68°，cos22°)，u＝a＋tb，则|u|的最小值为()A.B.C．1D．25．已知向量a与b的夹角为，|a|＝，则a在b方向上的投影为()A.B.C.D.6．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝()A.B.C.D．47．若△ABC是锐角三角形，向量p＝(sinA，cosA)，q＝(sinB，－cosB)，则p与q的夹角为()A．锐角B．直角C．钝角D．以上均不对8．△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2OA＋AB＋AC＝0，|OA|＝|AB|，则CA·CB等于()A.B.C．3D．29．如图8－1，非零向量OA＝a，OB＝b，且BC⊥OA，C为垂足，若OC＝λa，则λ＝()图8－1A.B.C.D.10．已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若AP＝λAB＋μAC，则λ＋μ的取值范围是()A.，1B.，1C．1，D．(1，2)11．已知点O是△ABC所在平面上的一点，CA＝CB，设a＝OA，b＝OB，c＝OC，若|a|＝4，|b|＝2，则c·(a－b)的大小为________．12．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，若O为△ABC中的外心，则AO·BC的值为________．13．已知向量a＝－，，OA＝a－b，OB＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积为________．14．已知向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝sin2C，且A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．(1)求角C的大小；(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且CA·(AB－AC)＝18，求边c的长．15．已知函数f(x)＝sinπx＋cosπx，x∈R.(1)求函数f(x)的最大值和最小值；(2)设函数f(x)在[－1，1]上的图像与x轴的交点从左到右分别为M，N，图像的最高点为P，求PM与PN的夹角的余弦．16．已知一非零向量列{an}满足：a1＝(1，1)，an＝(xn，yn)＝(xn－1－yn－1，xn－1＋yn－1)(n≥2)．(1)证明：{|an|}是等比数列；(2)设θn是an－1，an的夹角(n≥2)，bn＝2nθn－1，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求Sn.专题限时集训(八)【基础演练】1．C[解析]依题意，由a⊥b得a·b＝0，即3x＋3＝0，解得x＝－1.故选C.2．A[解析]cos〈a，b〉＝中，分母恒大于零，故只考虑分子a·b＝sinA－cosB，又因为三角形是锐角三角形，A＋B>，sinA>sin＝cosB，故a·b＝sinA－cosB>0，选A.3．B[解析]设2OB＋5OC＝7OD，则依三点共线的向量性质知B，C，D三点共线，又OA＝2OB＋5OC，∴OA＝7OD，∴DA＝6OD，∴＝＝6.4．B[解析] |u|2＝a2＋(tb)2＋2ta·b＝t2＋2ta·b＋1，又 a·b＝(cos23°，cos67°)·(cos68°，cos22°)＝cos23°cos68°＋cos67°cos22°＝sin67°cos68°＋cos67°sin68°＝sin135°＝，∴|u|2＝t2＋t＋1＝＋，∴|u|＝，∴|u|min＝.【提升训练】5．C[解析]依题意a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝cos＝.故选C.6．C[解析]依题意，|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＝|a||b|cos60°＝.于是|a＋3b|＝＝＝＝.故选C.7．A[解析]由题设知p·q＝sinAsinB－cosAcosB＝－cos(A＋B)＝cosC.又△ABC是锐角三角形，所以cosC>0，即p·q>0，所以p与q的夹角为锐角．故选A.8．C[解析]取BC边中点M，由2OA＋AB＋AC＝0，可得2AO＝AB＋AC＝2AM，则点M与点O重合．又由|OB|＝|OC|＝|OA|＝|AB|＝1，可得|AC|＝|BC|sin60°＝2×＝，则CA·CB＝|CA|·|CB|cosC＝|CA|2＝3.9．A[解析]依题意结合图像知：λ＝＝cos〈a，b〉＝＝.10．B[解析]因为点G是△ABC的重心，所以AG＝×(AB＋AC)＝AB＋AC.当点P在线段BC上运动时，λ＋μ＝1；当点P在线段GB、GC上运动时，λ＋μ的最小值为.又因为点P是△GBC内一点，所以<λ＋μ<1.故选B.11．6[解析] 点C是线段AB垂直平分线上的任一点，∴|CA|＝|CB|，∴CA2＝CB2，∴(OA－OC)2＝(OB－OC)2，化简为OA2－2OA·OC＝OB2－2OB·OC，得到：c·(a－b)＝6.12．8[解析]依题意得OA2＝OB2＝OC2，由于AC2＝(OC－OA)2＝OC2＋OA2－2OC·OA，所以OC·OA＝(OC2＋OA2－AC2)，同理OA·OB...
