专题限时集训(二十一)[第21讲函数与方程和数形结合思想](时间:45分钟)1.已知向量a与b的夹角为,且|a|=1,|b|=2,若(3a+λb)⊥a,则实数λ=()A.3B.-3C.D.-2.在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,则数列的前n项和最大时,n=()A.12B.13C.14D.153.已知且u=x2+y2-4x-4y+8,则u的最小值为()A.B.C.D.4.方程sin2x+2sinx+a=0一定有解,则a的取值范围是()A.[-3,1]B.(-∞,1]C.[1,+∞)D.[-1,1]5.已知公差不为0的正项等差数列{an}中,Sn为其前n项和,若lga1,lga2,lga4也成等差数列,a5=10,则S5等于()A.30B.40C.50D.606.F1,F2为椭圆+=1的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交椭圆于点P,且∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.7.若从区间(0,e)内随机取两个数,则这两个数之积不小于e的概率为()A.1-B.1-C.D.8.已知定义在R上的可导函数y=f(x)满足当x≤2时,f′(x)≤3;当x≥2时,f′(x)≥3,则下列结论:①f′(2)=0;②f(4)-f(3)≥3;③f-f≤1;④f(0)+f(4)≥2f(2).其中正确的个数是()A.4B.3C.2D.19.直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于A,B两点,若|AB|=2,则实数k的值是________.10.长度都为2的向量OA,OB的夹角为60°,点C在以O为圆心的圆弧AB(劣弧)上,OC=mOA+nOB,则m+n的最大值是________.11.已知△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边长,S表示该三角形的面积,且2cos2B=cos2B+2cosB.(1)求角B的大小;(2)若a=2,S=2,求b的值.12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,公比是q,且满足a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q.(1)求{an}与{bn}的通项公式;(2)设cn=3bn-λ·2(λ∈R),若{cn}满足:cn+1>cn对任意的n∈N*恒成立,求λ的取值范围.13.已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若直线y=b与函数y=f(x)的图像有3个交点,求b的取值范围.专题限时集训(二十一)【基础演练】1.A[解析]因为(3a+λb)⊥a,所以(3a+λb)·a=3a2+λa·b=3×12+λ×1×2×cos=0,解得λ=3.2.B[解析]因为S17=S9,所以17×25+d=9×25+d,解得d=-2,所以Sn=-n2+26n=-(n-13)2+169,当n=13时Sn有最大值.3.B[解析]不等式组所表示的平面区域是如下图中的△ABC,u=x2+y2-4x-4y+8=(x-2)2+(y-2)2,根据题意只能是点(2,2)到直线x+y-1=0的距离最小,这个最小值是,故所求的最小值是.4.A[解析]构造函数f(x)=sin2x+2sinx,则函数f(x)的值域是[-1,3],因为方程sin2x+2sinx+a=0一定有解,所以-1≤-a≤3,∴-3≤a≤1.【提升训练】5.A[解析]设公差为d(d≠0),则lga1+lga4=2lga2,得a=a1·a4,(a1+d)2=a1(a1+3d)⇒a1=d.又a5=a1+4d=10,∴a1=d=2,∴S5=5a1+d=30.6.A[解析]设|PF2|=r,则|PF1|=2r,|F1F2|=r.由椭圆的定义得2a=3r,2c=r,故椭圆的离心率为e==.故选A.7.B[解析]设取出的两数为x,y,则0